exercice proba conditionnelles

raboteux
raboteux
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonsoir,

Voici un exercice sur les probabilités conditionnelles. Je bloque sur un point de la compréhension du corrigé, dans la question b, on voit apparaître un binôme de Newton, je ne comprends pas pourquoi il faut multiplier par cette quantité pour aboutir au résultat voulu (nombre de parties de k-1 éléments dans n-1).
Merci par avance pour votre éclaircissement.70652
70654

Réponses

  • raboteux
    raboteux
    Bonjour,

    En voici un autre qui me pose problème aussi :

    ext

    Je ne comprends pas pourquoi l'auteur prend P(G1IAn)=n/2n
    Pourquoi le coefficient n au numérateur?
    C'est juste avant que la formule de bayes soit amenée...

    Merci.
  • LOU16
    LOU16
    Bonjour,

    Les coefficients binomiaux apparaissent parce qu'est utilisée...la " loi binomiale".
    Si tu ne la connais pas, ou si tu l'as oubliée, il faut que tu te documentes sur celle-ci, ce qui est assez facile, vu son importance et sa notoriété dans le "Calcul des Probabilités".

    Amicalement,
  • LOU16
    LOU16
    Re,

    Ta seconde question relève un peu aussi de la "loi binomiale".
    Le $n$ s'explique par le fait que "avoir exactement un garçon parmi les $n$ enfants" , c'est comme "obtenir exactement une fois pile lorsque on lance $n$ fois une pièce de monnaie", et il y a $n$ "scénarios" différents (rangs d'obtention du "pile") qui conduisent à cet événement, dont la probabilité vaut alors $\dfrac{n}{2^n}$.

    Amicalement,
  • raboteux
    raboteux
    Bonjour,

    Merci pour ta contribution; pour le deuxième exercice, effectivement la binomiale était la solution, le n correspond à C1n.

    Pour le premier exercice, s'il me semble évident que tu as raison sur le fait que c'est la binomiale qui est utilisée, j'ai quand même du mal à comprendre tous les termes de l'expression, notamment le (1-pi) en facteur devant le binome, d’où vient il?
  • Poirot
    Poirot
    Le facteur $(1-p_i)$ devant l'expression est en effet un peu étrange, mais provient du fait qu'on regarde $B_1 \cap D_{k-1} \mid A_i$ et non pas juste $D_{k-1} \mid A_i$.
  • raboteux
    raboteux
    Merci pour vos explications.

    En voici un autre avec un calcul d'espérance sur lequel je coince :

    ext

    Hors justement, je ne comprends pas le début du corrigé de la question b), pour moi l'espérance c'est la somme des xP(X=x) et là j'ai l'impression que le correcteur se contente de sommer les P(X=x) sans multiplier par le x....
    De plus, dans la question d'avant on calcul P(T<n) et là pour calculer l'espérance, le correcteur prend P(T>n).
    Pourquoi donc?

    Merci par avance.
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Il s'agit de l'utilisation d'une formule classique de calcul de l'espérance (à la fin du paragraphe pour une variable discrète).

    Cordialement.
  • raboteux
    raboteux
    Bonjour,

    Merci pour ta réponse, donc si je comprends bien cette autre formulation serait possible car nous sommes dans le cas d'une variable aléatoire réelle positive?
    A priori, ton extrait la présente comme un cas particulier...
  • gerard0
    gerard0
    Heu ... "le nombre de fois ..." est bien une variable positive. Je ne comprends pas ta dernière phrase.

    Cordialement.
  • raboteux
    raboteux
    Oui, le nbre de fois est bien une variable positive réelle donc cette formule est utilisable, j’acquiesçais donc.

    Ce que je voulais dire (et te demandais confirmation) c'est si cette formule là est bien un cas particulier de la formule générale somme(x.P(X=x)) valable pour ce type de variable là....
  • gerard0
    gerard0
    Non, ce n'est pas un "cas particulier" de la définition, mais un théorème de mathématiques; qui permet parfois de calculer agréablement une espérance.
    Ce qui est particulier, c'est le type de variable auquel ça s'applique.

    Cordialement.
  • jayyang
    jayyang
    Salut.

    Notons $Q(D_{k-1}) = P(D_{k-1} | B_1)$, puis appliquons la formule de proba totale $Q(D_{k-1}\mid E_1)Q(E_1) + Q(D_{k-1}\mid E_2)Q(E_2)$ où $E_1$ (resp. $E_2$) est l’événement que le premier article vient de l'entreprise 1 (resp, entreprise 2).

    Pour trouver $Q(E_i)$, appliquons le théorème de Bayes. Alors $Q(D_{k-1}\mid E_1)$ est clairement la proba qu'une v.a. $\mathrm{Binomiale} (n-1, p_i)$ est égale à $k-1$.

    Cordialement.
  • raboteux
    raboteux
    Bonjour à tous,

    Merci pour votre réponse détaillée.

    J'en profite pour en poser un autre sur les fonctions génératrices :

    ext

    Je ne comprends pas le corrigé de la question c) et notamment comment on en arrive pour la fonction génératrice de Sm à prendre la fonction génératrice de S1 mais à la puissance m.
    Juste en dessous, je ne comprends pas non plus comment on fait réapparaître d'un coup une somme qui permet finalement d'identifier la loi de Sm.

    Merci.
  • jayyang
    jayyang
    Salut,

    Un fait général est que la fonction génératrice de la somme de $m$ v.a. iid est la puissance $m$-ième de la fonction génératrice d'une seule v.a.

    Pour déduire la série, on a besoin un peu d'analyse. Notons d'abord que $(\frac 1 {1-u})^m$ pour $0<u<1$ est égale à $(1+u+ u^2 + \cdots )^m$. En développant ce dernier, nous trouvons une série de Taylor avec coefficient ${m+n-1 \choose n}$ pour le $n$-ième terme.

    Pour le voir, remarquons que le coefficient de $u^n$ est le nombre de solutions entières pour l'équation
    $$n_1 + \cdots + n_m = n$$
    qui est donné par ${m+n-1 \choose n}$.

    Cordialement.
  • raboteux
    raboteux
    Bonsoir,

    En voici un autre avec une application de la formule des proba totales que je ne comprends pas:

    ext1
    ext2

    Dans le corrigé de la question b), pour la cas n>3, le correcteur utilise le système complet X1, X2, X3 mais il ne considère pas la combinaison X1=0 et X2=0.
    A t'on le droit de faire cela? Pourtant cette combinaison appartient bien à l'oméga des deux variables X1 et X2 qui constituent le système complet non?

    Désolé par avance si ma question est bête mais ça me tracasse...
  • LOU16
    LOU16
    Bonjour,

    L'événement $[X_1 = 0] \cup [X_2 = 0]$ n'est pas oublié. Il est inclus dans $[X_1 = 0]$.

    Amicalement,
  • raboteux
    raboteux
    Bonjour LOU,

    Merci pour ton aide.
    Que veux tu dire par inclu dans X1=0?
    Que X1=0 implique X2=0?

    Je ne vois pas trop...
  • raboteux
    raboteux
    Bonjour,

    Je butte sur la compréhension d'un corrigé sur une loi à déterminer.

    ext

    A la question 3, le corrigé voit une loi binomiale de paramètre n=10 et p=0.4.
    En premier lieu, je ne comprend pas le choix d'un loi binomiale, j'ai plutôt tendance à y voir une loi hypergéométrique sur le critère qu'on effectue un tirage sans remise.
    Je sais que je dois faire une erreur de raisonnement, mais je n'arrive pas à y voir clair.
    En second lieu, si la loi est bien binomiale, je ne comprends pas pourquoi le paramètre p est de 0.4 et non de 0.3 qui correspond à la proportion de machine qui tombent en panne au bout de 5 ans...

    Merci d'avance.
  • LOU16
    LOU16
    Dire qu'un évènement $A $ est inclus dans un évènement $B$ signifie (par exemple) que la réalisation de $A$ entraine celle de $B$. On a alors en particulier $\mathbb{P}(A) \leq \mathbb{P}(B)$.

    Ainsi $A= (X_1 = 0) \cap (X_2=0) $ est un événement inclus dans $B= (X_1 = 0)$.

    $\mathbb{P}(B) =\mathbb{P} (A) + \mathbb{P}[ (X_1=0) \cap (X_2=1)] $.

    Amicalement,
  • raboteux
    raboteux
    Merci LOU.

    Tes explications sont claires mais ce que je ne comprends pas c'est pourquoi dans le cas présent la réalisation de X1=0 entraîne la réalisation de X2=0.
    X est variable de Bernoulli, pourquoi alors les deux variables X1 et X2 seraient liés?
  • LOU16
    LOU16
    Re

    J'ai du mal à détecter ce que tu ne comprends pas. Peut-être est-ce la notion de "système complet d'événements".
    Les événements $A, B, C$ suivants forment un tel système, c'est-à-dire qu'ils sont deux à deux incompatibles et que :

    $\mathbb{P}(A) +\mathbb{P} (B) +\mathbb{P} (C) = 1$.

    $A = (X_1= 0)$
    $B = (X_1 = 1) \cap (X_2 = 0)$.
    $C = (X_1 = 1) \cap (X_2 = 1)$.
    C'est une façon de scinder l'univers des possibles en trois éventualités:
    $ \mathbb{P}(A) = 1/2; \:\:\:\mathbb{P}(B) = 1/2\times 1/2= 1/4;\:\:\: \mathbb{P}(C) = 1/2\times1/2 = 1/4.$


    Il n'a jamais été question d'affirmer que $X_1 = 0$ entraîne que $X_2 = 0$ (ce qui est bien entendu faux).
    Amicalement.
  • raboteux
    raboteux
    Merci LOU.

    En fait, effectivement je pensais à tort que le système complet d’évènements devait comprendre toutes les combinaisons possibles pour l'état des variables X1 et X2, or le cas X1=0 et X2=0 n'était pas pris en compte ...
    Je réalise maintenant pour résumer qu'on peut le "dimensionner comme on veut" du moment que la somme des Probabilités est égale à 1 et que les évènements sont incompatibles entre eux ?
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