covariance de deux variables aléatoires

elzeardbouffier
elzeardbouffier
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour,
Dans son cours "intégration,probabilités et processus aléatoire" Jean-François Legall propose un contre-exemple pour montrer que deux v.a. peuvent avoir une covariance nulle sans être indépendantes.(Juste après le corollaire 9.2.2.)
Mais je reformule ici la proposition :

Soit X1 une variable aléatoire dont la loi de densité est paire
Soit e une v.a. qui prend équiprobablement ses valeurs dans {-1,1}
Soit X2 := eX1.
On suppose que e et X1 sont indépendantes (encore faudrait-il vérifier que c'est possible)
Alors cov(X1,X2)=0 mais X1 et X2 ne sont pas indépendantes.

Pour montrer que cov(X1,X2)=0, j'en suis arrivé devoir montrer que E(eX2)=0, autrement dit E(e(X1)^2)=0. Mais e, X1 et X1 ne sont pas indépendantes dans leur ensemble, du coup, je ne vois pas trop ce qu'on peut faire.

De plus, il propose de montrer que si une v.a. est indépendante d'elle-même, alors elle est constante presque partout.J'en suis arrivé au fait que si X est indépendante d'elle-même, alors, pour tout x, P(X=x)=0 ou 1. Si il existe x tel que P(X=x)=1 c'est gagné, mais encore faut-il qu'il existe et je n'arrive pas à le prouver.
Merci de votre aide

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Pour la première question, pourquoi n'écris-tu pas $E({e X_1}^2) = 1/2 E({X_1}^2) -1/2 E({X_1}^2)$, n'est-ce pas la définition de $e$ comme v.a.r. équiprobable avec valeurs dans $\{-1,1\}$ ?

    Tu demandes aussi si il est possible de trouver $e$ et $X_1$ indépendantes, vraiment tu en doutes ?

    Pour une variable indépendante d'elle-même, je suggère de considérer la fonction de répartition de $X$ : $P(X\leq x)$ pour tout $x$ dans $R$. Que trouves-tu comme relation sur $P$ ? Quelles sont les seules valeurs possibles ?
    Puis, on peut considérer $a = sup\{x\in R : P(X\leq x) = 0\}$. Que dire de $P(X\leq x)$ si $x > a$ ? Et si $x < a$ ? Et donc que vaut $P(X\leq x)$ ?

    Finalement, une variable aléatoire est indépendante d'elle-même $\iff$ elle est constante presque SÛREMENT.
  • elzeardbouffier
    elzeardbouffier
    Bonsoir,

    YvesM écrivait:

    >
    > Pour la première question, pourquoi n'écris-tu
    > pas $E({e X_1}^2) = 1/2 E({X_1}^2) -1/2
    > E({X_1}^2)$, n'est-ce pas la définition de $e$
    > comme v.a.r. équiprobable avec valeurs dans
    > $\{-1,1\}$ ?
    >
    Je ne comprends pas comment tu obtiens cette égalité, ni de quelle définition tu parles : l'expression "v.a.r; qui prend les valeurs -1 et +1 avec la même probabilité" me semble se suffire à elle-même.

    > Tu demandes aussi si il est possible de trouver
    > $e$ et $X_1$ indépendantes, vraiment tu en doutes
    > ?
    > Oui, parce que ça n'est pas du tout intuitif pour moi

    D'autre part, je suppose que le a tel que
    $a = sup\{x\in R :
    > P(X\leq x) = 0\}$.
    existe parce que la fonction de répartition est croissante et tend vers 1 en +infini. Il suffit alors de prendre x>a et alors P(X1>x)=1. Mais pour conclure il faudrait que P(X1=x)=1
    >
    Pourrais-tu préciser tout ça ?
    Merci
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Pour $E(e{X_1}^2)$ écrit simplement la définition de ce nombre en fonction de la fonction de répartition de $X_1$ et de celle de $e$. Reviens aux définitions. Tu trouves immédiatement $0$.

    Pour les variables indépendantes, cherche donc un exemple de deux variables aléatoires quelconques indépendantes. N'en trouves-t-tu vraiment pas ? Donc les variations du cours du cacao sur le maché international n'est pas indépendant du jeu de pile ou face que tu peux faire chez toi ?

    On revient à notre ensemble.

    Si $x < a$, alors il existe $t$ tel que $x < t \leq a$ et $P(X \leq t) = 0$ car sinon $x$ serait un majorant strictement plus petit que $a$ de cet ensemble (contradiction). Et alors : $P(X\leq x) \leq P(X\leq t) = 0$ et donc $P(X\leq x) = 0$.
    Si $x > a$, alors $P(X\leq x) > 0$ car sinon $a$ ne serait pas un majorant de l'ensemble et donc $P(X\leq x) = 1$.

    Par continuité à droite de la fonction de répartition de $X$, on a : $P(X\leq x) = 1_{[a,+\infty[}$. C'est la fonction de répartition de la loi constante et égale à $a$, et donc $X$ est une variable aléatoire réelle constante.

    Il faut démontrer la contraposée. Soit $X$ une v.a.r. constante et égale à $c$ dans $R$. Soient $A$ et $B$ deux ensembles (boréliens) de $R$, alors je te laisse calculer les nombres $P(X \in A, X \in B)$ et $P(X \in A) P(X \in B)$ selon que $c$ est ou n'est pas dans l'intersection de $A$ et $B$. Tu devrais trouver que ces nombres sont égaux, dans tous les cas. C'est la défintion de $X$ indépendante d'elle-même.
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