Le Samuel

Salut Sylvain,

Ca dépend ce que tu veux en faire et combien tu veux le payer.
Pour ma part, j'ai travaillé dedans quand j'étais en licence avec en parallèle le cours de Perrin et le cours de Querré. J'en ai gardé un bon souvenir (pourtant je ne suis pas un algébriste).
Ca dépasse le programme de l'agreg, avec quelques trucs utilisables, en particulier sur les extensions quadratiques.
Attention, quelques preuves ont des petits trous, ce qui a planté des générations d'agrégatifs (je pense en particulier la preuve du théorème des fonctions symétriques et des racines).
Pour ma part, je dirais: pourquoi pas, si tu ne le paies pas trop cher et que tu as déjà le Perrin.

Salut,

je pense qu'aléa parle du cours d'algèbre de Perrin dans lequel tu trouveras tous les rudiments nécessaires sur les groupes et anneaux pour lire le livre de P. Samuel.

Faut être très solide sur les notions de groupes et d'anneaux avant d'entamer l'excellent bouquin de Samuel (j'adore ce livre)

J'ai déjà évoqué cet ouvrage, quasi-idéal pour débuter en théorie algébrique des nombres.

Le texte est clair et concis, et l'on trouve tout ce qu'il faut pour bien démarrer, et ce sans autre ouvrage de prérequis, me semble-t-il.

Son seul "défaut", selon moi : l'auteur l'a trop orienté "algèbre" et pas suffisamment "théorie des nombres", même si certains exercices palient cet inconvénient. Mais l'on voit bien que les méthodes de résolution de certaines questions (par exemple pour certaines déterminations de l'anneau des entiers) empruntent des voies résolûment algébristes.

Si tu souhaites t'investir dans cette discipline, riche mais difficile, il te sera utile de compléter cet ouvrage par d'autres (voir certains de mes anciens posts sur ce sujet).


Borde.

Selon moi, c'est plus facile pour Z, car le concept de divisibilité et de division euclidienne dans Z sont plus simples pour la plupart des gens que la divisibilité et la division euclidienne dans K[X], puisqu'on manipule les entiers depuis les classes de primaire.

Conceptuellement parlant il n'y a bien sûr pas de différence.

Enfin, la plupart du temps, on passe directement de 1) à 3). Inutile de prouver que Z est principal pour voir que tout entier se décompose de manière unique en produit de facteurs premiers (la seule chose importante est de montrer que les idéaux engendrés par les nombres premiers sont premiers).

Voir la démonstration due à Gauss de ce résultat. On a simplement besoin d'une division euclidienne (et du fait que tout ensemble non vide de N a un plus petit élément). Si tu ne la trouves pas, je la posterai plus tard

À propos de Samuel et de la démonstration de la factorialité de $\Z$ : ensmat_1967_13_a_022.pdf

On peut très bien se passer de Bezout pour passer d'euclidien à principal.

oups, je ne dois pas connaitre Bézout alors: ce que je veux dire par "Bézout" c'est que tout idéal engendré par un nombre fini d'éléments est principal, donc gna, tu démontres "Bézout" (au sens où je l'entends, qui n'est peut-être pas le sens officiel)

même réponse à toto...

C'est bien ce que je dis; les étapes sont:

Z euclidien (1), donc Z principal (2) donc OK (3) (ie donc les premiers engendrent des idéaux premiers)

J'avoue ne pas comprendre vos objections: qu'entendez-vous l'un et l'autre par "on peut se passer de Bézout" (ou de principal)?

Bien sûr, je ne parle pas des mots (on peut ne pas les prononcer), simplement, je veux dire que on passe par un moment où on dit d'une manière ou d'une autre que Z est principal, même si on ne prononce pas le mot "principal"

J'ai parcouru le pdf, et effectivement il tente de proposer des trucs alternatifs... En beaucoup beaucoup de pages

C'est bien gentil CC de voulir éclairer de Ta Lumière les esprits obscurs des matheux ordinaires (euclidien implique principal, waoh, quel scoop ! merci de m'avoir ouvert les yeux) alors qu'ils ne t'ont rien demandé, mais ça serait plus éclairant si tu commençais par exemple par appeler Bezout ce que tout le monde appelle Bezout.. Quant à tes remarques sur P. Samuel n'en parlons pas.

row or row ?
maybe a row of rows ...
or, why not, a row of raw rows

D'après le pdf, l'id de Bézout serait:

quand a,b sont premiers entre eux alors il existe u,v: ua+vb=1

Remarque: PSamuel lui-même défend largement l'ordre cba (fin du document)

Christophe, tu es d'une mauvaise foi à toute épreuve.

Pour ma part, ce que je retiens, c'est qu'"on" a abandonné le chemin naturel, qui part de la décomposition en facteurs premiers (la factorialité) qui permet de caractériser le pgcd (avec grand au sens de l'ordre naturel) par sa décomposition en produits de facteurs premiers. (C'est tellement abandonné que décomposer est un réflexe qui s'émousse dans la pratique des jeunes matheux).
Dès lors que le pgcd est défini à partir de l'idéal engendré, il n'y a plus de théorème de Bezout, au plus une "identité de Bezout" à laquelle on accole, par fidélité à l'Histoire, le nom de l'ancien théorème.

à alea: en fait je ne suis pas bien, j'essaie de reformuler

tu "retiens" qu'on a abandonné que pgcd(liste)=produit obtenu en prenant les inf des puissances? C'est ça, et tu le "regrettes" un peu, c'est ça?

Je pense que cette discussion est significative, car on est pile poil sur le problème déontologique suivant: que faut-il privilégier, les preuves ou les théorèmes?

Explication: si on privilégie les énoncés, il est limpide que tout le monde (on pourrait presque le faire en sixième) considèrera que "la" décomposition d'un nombre entier est "le premier truc" qui se remarque, et toujours si on privilégie les énoncé, on "ADMETTRA" aussi l'unicité et donc bingo, on a d'un coup le PGCD et le PPCM

Par contre, si on privilégie les preuves, on "oublie" (un peu) les 2 trucs admis précemment, et on s'intéresse à leurs preuves. Auquel cas, ils ne sont plus au début de l'histoire, mais à la fin de l'histoire: cadire qu'une fois qu'on les a prouvés, et énoncés... on part en vacances.

Comme énoncés "à croire", ils sont "triviaux", comme énoncés à prouver, ils sont "difficiles" (pour un enfant).

Ca me fait penser au théorème de Jordan: tout dépend ce qu'on veut faire: est-ce que veut les utiliser (ie collectionner des C-->X, où C est la conjonction des 2 énoncés) ou est-ce qu'on veut les "justifier" de moult façons différentes (ie collectionner des X--->C, avec des X encore plus "évidents")

On ne peut pas trancher, les 2 "idéologies" travaillant l'une contre l'autre. (C-->X = (nonC ou ..) / X-->C = (C ou ...))

Par exemple, ceux qui bossent sur les graphes planaires collectionnnent, sans autre forme de procès, toutes les "évidences" visuelles de Jordan et ses périphéries (ie ils collectionnent des J--->X, par exemple, en "admettant" sans vergogne qu'il n'y a pas de 5-clique planaires) alors que ceux qui bossent sur Brouwer and co, collectionnent plutôt des X--->J.


La "clé" politique me semble pour être l'exercice suivant: doit-on "trouver évident" ou "prouver" que 17 n'est pas un diviseur de ab quand a,b sont des nombres premiers plus grand que 100, quand on est "enfant"? (Qui serait vraiment capable de régler la question en quelques lignes sans "Bézoutifier" le problème, ni exploiter des trucs snobs (genre Z/17Z?)

à Gna:

voilà comment je "prouve" (par exemple) que p|ab-->p|a ou p|b (mais après il y a peut-être plus simple)

j'utilise (en le prouvant, ou non selon le contexte) que (a,p) est un idéal principal (q) (en le disant ou sans le dire, peu importe)

Et si a n'est pas un multiple de p, q non plus et donc q=1 (car q |p) et donc b=b(xa+yp) est un multiple de p.

Attention: je n'admets bien sûr pas que ab peut se décomposer de manière unique en produit de premiers (puisque justement, ce dernier point est une généralisation de l'énoncé)

C'est en cela que je dis que (même si on ne prononce pas le mot) on "prouve d'abord" quelque chose du genre "Z est principal", pour ensuite, aboutir à sa factorialité (enfin, je veux dire que c'est ce chemin le plus court, disons)

Comment prouverais-tu l'énoncé précédent sans "Bézouto-principaliser/euclidianiser" l'histoire?

Histoire d'embrouiller un peu le débat, je propose un exercice.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que dans $\mathbb Z$ :
$nmk = \mathrm{ppcm}(nm,mk,kn)\times \mathrm{pgcd}(n,m,k)$
et
$\mathrm{pgcd} \big(\mathrm{ppcm}(k,m),\mathrm{ppcm}(m,n),\mathrm{ppcm}(n,k) \big) = \mathrm{ppcm} \big( \mathrm{pgcd}(k,m), \mathrm{pgcd}(m,n), \mathrm{pgcd}(n,k) \big)$

\item Dans quels autres anneaux ces relations sont-elles vérifiées ?
\end{enumerate}
Par ailleurs le cours de Papy Samuel est bien (même si Galois arrive un peu tard) mais les exos sont une mine d'or. Du moins ceux qui sont faisables...

Amicalement,
e.v.

bonjour,
n'est-ce pas plus "élégant" de travailler avec les exposants des décompositions en facteurs premiers et de montrer des relations quasi triviales du genre
a + b + c = sup(a, b, c) + inf(a+b, b+c, c+a) ?

christophe chalons écrivait:

---

> Par ailleurs ce n'est pas de la mauvaise foi de
> dire que "p |ab ---> p |a ou p|b" c'est "se
> servir" du fait que Z est principal, c'est mon
> avis, c'est tout. Qu'on le prouve ou non, il me
> semble qu'on s'en serve, sauf à choisir "l'astuce
> de Zermelo" décrite par PSamuel

Voir la réponse de Gna.

Hier j'avais parlé de la démonstration de Gauss du fait que si $p |ab$ alors $p$ divise $a$ ou $b$. On suppose que $p$ ne divise pas $a$ et on considère l'ensemble $A=\{ n \geq 1 , p | an \}$. Il est non vide donc admet un plus petit élément $m \geq 2$ (car $p$ ne divise pas $a$). En utilisant la division euclidienne on montre que $m$ divise tous les éléments de $A$. Puisque $p$ et $b$ sont dans $A$ on en déduit successivement que $m=p$ et $p$ divise $b$.

Bien sûr, cet argument ne te convaincra pas, et tu persisteras à penser que ton point de vue était le bon, qu'on a utilisé implicitement la principalité de Z, ou que sais-je encore.

non, mais toto, ne m'en veux pas, d'une part, je n'ai pas en tête la preuve que tu évoques, là je la lis, mais ne la connaissais pas (et ai bien précisé "je ne connais pas de..", ne sous-entendant pas qu'il n'y en pas) et d'autre part, je vais essayer de refaire ta preuve en live.

donc le plus petit des m tel que p divise am est au moins 2, ok

divisons un n de A par m, on obtient n=qm+r et comme p | aqm+ar et et p | aqm, p|ar et donc r=0 et donc r=0 et donc m|n ok

comme p |ab, m|b ok, écrivons b=km

donc ab=kam où est l'évidence que p va diviser b?

je réfléchis...

Elle est zolie cette preuve, bon pour ne pas t'énerver, je ne vais pas faire de politique***, mais franchement, je n'y pensais pas du tout (je ne sais même pas si je n'y avais ne serait-ce que pensé un jour d'ailleurs), et me répondre que je suis de mauvaise foi, c'est un peu me complimenter en ce sens que tu m'attribues un geste dont je suis innocent: la connaitre et faire semblant de ne pas la connaitre (je te JURE, que tu viens de me l'apprendre, et je t'en remercie d'ailleurs..)

*** autour de la div euclidienne que je considère en substance comme contenant à peu près tout le reste (cf euclid--->principal)

ni même de division euclidienne pour montrer très proprement l'existence et l'unicité de la décomposition en produits de facteurs premiers

Sur lequel dois-je cliquer, il y a bcp de document sur ton site?

toto a utilisé une zolie division euclidienne... (je dis ça pour l'embêter)

Pour formuler cette discussion d'une manière moins "polémique", y a-t-il un moyen de s'apercevoir que Z est factoriel (énoncé qui ne fait nulle part intervenir la somme) sans jamais utiliser de manière directe ou non la notion d'addition? (remarque: la div.euclidienne a le "génie" de mélanger subtilement les 2, ce qui confère sa célébrité à Bézout)