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Réponses
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Jean-Louis,
Tu parles bien du cardinal de $\mathcal {E}$, non ? Si oui, alors je n'ai écrit qu'une sommation de comptage (tu ajoutes $1$ à chaque fois que tu tombes sur un élément de $\mathcal {E}$). Le point est un poit de fin de phrase, et n'intervient pas dans la notation.
{\bf Exemple}. $$\pi(x) = \sum_{p \leqslant x} 1$$
Milkman,
Il me semble que cet exo a été proposé ici-même il n'y a pas longtemps, non ? Peut-être par toi ? En tout cas, je ne le connaissais pas !
A +
Borde. -
OK, oui ,c'était ça .Merci, Borde.
Jean-Louis. -
De rien, Jean-Louis.
Milkman,
Si j'ai bien compris, tu cherches les solutions entières de l'équation diophantienne $2x^3 + 3x^2 +x - 6y^2 = 0$, non ? Je n'ai pas de réponse précise actuellement, mais seulement des généralités pour commencer : ta courbe est de genre $1$, donc ne possède qu'un nombre {\bf fini} de points entiers (théorème de Siegel, 1929). Malheureusement, ce théorème est ineffectif dans le sens où (à ma connaissance) il ne propose pas de majoration pour les éventuelles solutions. Il faut donc chercher encore.
Borde. -
Bonjour Borde
je m'interroge sur un point de logique sur la preuve page 69 pour montrer que l'ensemble des nombres premier congus à 3 modulo 4 est infini.
On suppose cet ensemble fini et l'on exhibe un nouveau nombre premier ayant la forme voulue.
Et si l'ensemble était vide ?
aimablement,
S -
7 est bien congru à 3 modulo 4. 7 est premier. L'ensemble n'est donc pas vide (ou alors je n'ai pas compris la question).
-
je suis d'accord, j'ai l'impression de pinailler car le contetxte est suffisament évident dans ce cas, mais cela me semble important de dire cet ensemble est non vide au début de la démonstration.
J'essaie de trouver une "preuve" pour mieux illustrer
S -
Oui, à chaque fois que l'on définit un ensemble (d'entiers, disons), il faudrait, en toute rigueur, se demander s'il est vide ou non. Lorsqu'il est facile d'en exhiber un élément comme l'a fait ci-dessus Alexandre, on "laisse au lecteur" le soin de vérifier cette propriété.
<BR>
<BR>C'est souvent le problème lorsque l'on rédige un texte mathématique quel qu'il soit : doit-on <B>tout</B> écrire, ou doit-on (ne serait-ce que dans un souci pédagogique) laisser des vérifications simples au lecteur ? Samok a raison dans un sens, car j'ai voulu faire un livre accessible au plus grand nombre. Ceci dit, je dois bien avouer que ma concentration s'est surtout portée sur les chapitres 4 et 5, et surtout le 5, qui n'existe quasiment pas dans la littérature, et qui m'a demandé un mois complet de mise au point (le mois d'août dernier...), bien aidé en cela par Jean-Jacques Galzin et Brux (Bruno Martin), car les démonstrations de chacun des théorèmes ont été reprises de A à Z, et sont donc pratiquement inédites. Ce chapitre m'a épuisé !
<BR>
<BR>Mon message suivant revient sur le problème de Milkman,
<BR>
<BR>Borde.<BR> -
Revenons sur le problème de Milkman, plus élémentairement que ce que j'avais dit ce matin. En voici une piste possible. Dans la suite, $(a,b)$ désigne le pgcd de $a$ et $b$.
Soit donc l'équation diophantienne $n(n+1)(2n+1) = 6m^2$, avec $m,n \geqslant 2$ entiers (on exclut la solution évidente $n=m=1)$). On vérifie d'abord que l'ensemble des solutions n'est pas vide, puisque $n=24$ et $m=70$ sont solutions. On vérifie aussi que, si $2 \leqslant n \leqslan 10$, alors il n'y a pas de solution, ce qui permet de supposer dans la suite que $n \geqslant 11$. Sous cette condition, on vérifie rapidement que, si $n$ et $m$ sont solutions, alors $2n < m < n^{3/2}$ (routine...).
Soit deux solutions $m,n$ et $d = (n,m)$. On note $n',m'$ les entiers premiers entre eux tels que $n=dn'$ et $m=dm'$. En remplaçant, on obtient : $6dm'^2 = n'(n+1)(2n+1)$. A partir de là, deux chemins possibles :
1. $d \mid n'(n+1)(2n+1)$, et comme $d$ est premier avec $(n+1)(2n+1)$, il vient $d \mid n'$.
2. $n' \mid 6dm'^2$, et comme $n'$ est premier avec $m'$, il vient $n' \mid 6d$.
On obtient donc que $n' = d, \, 2d, \, 3d \, 6d$, ce qui donne $n = d^2, \, 2d^2, \, 3d^2, \, 6d^2$.
L'étape suivante consiste à trouver un majorant de $d$, ce qui ne laissera qu'un nombre fini de tests à procéder pour trouver les solutions.
Borde. -
Revenons sur le problème de Milkman, plus élémentairement que ce que j'avais dit ce matin. En voici une piste possible. Dans la suite, $(a,b)$ désigne le pgcd de $a$ et $b$.
Soit donc l'équation diophantienne $n(n+1)(2n+1) = 6m^2$, avec $m,n \geqslant 2$ entiers (on exclut la solution évidente $n=m=1)$). On vérifie d'abord que l'ensemble des solutions n'est pas vide, puisque $n=24$ et $m=70$ sont solutions. On vérifie aussi que, si $2 \leqslant n \leqslant 10$, alors il n'y a pas de solution, ce qui permet de supposer dans la suite que $n \geqslant 11$. Sous cette condition, on vérifie rapidement que, si $n$ et $m$ sont solutions, alors $2n < m < n^{3/2}$ (routine...).
Soit le couple de solutions $(m,n)$ et on pose $d = (n,m)$. On note $n',m'$ les entiers premiers entre eux tels que $n=dn'$ et $m=dm'$. En remplaçant, on obtient : $6dm'^2 = n'(n+1)(2n+1)$. A partir de là, deux chemins possibles :
1. $d \mid n'(n+1)(2n+1)$, et comme $d$ est premier avec $(n+1)(2n+1)$, il vient $d \mid n'$.
2. $n' \mid 6dm'^2$, et comme $n'$ est premier avec $m'$, il vient $n' \mid 6d$.
On obtient donc que $n' \in \{ d, \, 2d, \, 3d, \, 6d \}$, ce qui donne $n \in \{ d^2, \, 2d^2, \, 3d^2, \, 6d^2 \}$.
L'étape suivante consiste à trouver un majorant de $d$, ce qui ne laissera qu'un nombre fini de tests à procéder pour trouver les solutions.
Borde (Doublon à supprimer. Merci). -
Je tiens également à féliciter borde pour son livre, je viens de me le procurer avec le livre de H. Cohen (il n'est cas 35€). Pour le peux que j'en ai lu dans le métro, il a l'air assez clair, je sens que je vais passer de bons moments.
Bravo borde ! -
Merci de ton intérêt pour ce travail, Cédric.
Borde. -
Un petit salut à Borde que je félicite vivement pour la sortie de son livre.
Le chapitre 5 consacré à l'étude de points à coordonnées entières proches d'une courbe est vraiment très intéressant et j'ai trouvé les preuves présentées très esthétiques. D'autant que c'est effectivement un champ plutôt laissé de côté par la littérature (hors revues scientifiques). -
Merci Brux, et un grand merci pour ta participation active et très efficace dans l'élaboration de ce livre !
Borde. -
...C'est vrai, j'ai pu constater, et je tiens à en témoigner ici, combien le travail des relecteurs est primordial ! Il faut le souligner, et ne jamais l'oublier !
Encore merci à tous,
Borde. -
Borde, je renouvelle mes félicitations pour ton livre, sa clareté, ses exercices, son contenu...
...il occupe bien mes vacances !
Cependant, je voulais savoir si cela t'intéressait que l'on profite du forum pour relever les quelques coquilles qui restent ; je ne sais pas comment fonctionne l'édition, si par exemple suite au succès de ce livre (que je souhaite !) un autre tirage est fait...
donc pour l'instant j'en ai vu deux :
-sur la quatrième de couverture : il manque, l10 du deuxième paragraphe, le "o" de proposé.
p52, dans la preuve du (i), il est écrit deg f au lieu de deg P
Menagex (comme bezout parfois, sans accent !) -
Oui, oui, les coquilles m'intéressent. Celle du dos du bouquin, je l'avais vue, mais ce n'est pas moi qui est tapé ce texte-ci (j'ai vérifié sur mon original). J'ai noté pour la page 52. Il y en a une autre page 201 (deuxième ligne de calcul), facile à déceler compte tenu de la ligne précédente.
Merci,
Borde. -
bonjour Olivier,
PPourriez-vous m'indiquer le tirage qu'Ellipses a fait de votre livre.
merci. -
Je n'attend que le virement de la bourse pour me procurer ce livre !
Au vu des commentaires, j'en suis vraiment impatient !
Cordialement -
Salut Yvarentréengare (sacré pseudo !),
Je n'en ai strictement aucune idée, mais je crois qu'ils prévoient, comme pour tous leurs ouvrages, une base de 2500 exemplaires.
C'est vrai, Naos, que c'est un investissement non négligeable. J'espère néanmoins qu'il répondra à tes attentes.
Borde. -
Je viens de me procurer le bouquin en question, privant sans doute par la même occasion Reims de son dernier (et peut être seul) exemplaire.
J'apprécie particulièrement le ton "humble" de l'auteur et le parti pris d'être accessible au niveau terminale. Ce n'est pas dans tous les bouquins que se cotoient par exemple les séries de Dirichlet et la résolution (soignée et accessible) de ax+by=c.
Bref, toutes mes félicitations borde !
Alex. -
Merci, AlexB.
Cette politique "d'accessibilité" est voulue à la fois par l'éditeur et moi. Si ce livre peut remplir une case vacante sur le marché, alors l'un des objectifs fixés sera atteint. L'idée d'une rubrique (ici nommée "Pour en savoir plus") pour présenter des résultats plus costauds et/ou originaux, et ce avec ou sans preuve, n'est pas nouvelle : il s'agit en fait de la structure classique cours / notes / exercices que l'on trouve dans les ouvrage de second et troisième cycles universitaires.
Quant à l'humilité, j'estime ne pas avoir été assez humble dans le passé, ce qui m'a forcé à le devenir plus.
Borde. -
Question naive ... ce livre, en dehors de son contenu evidemment interressant, peut il etre utile pour l agrégation ? on est il simplement un bon bouquin a savourer ?
Philou le Cocker -
Salut Philou,
Tu peux toujours t'en servir pour certains développements de leçons ou enrichir certains plans.
Exemple. Une application (directe) du THAF : le critère de la dérivée première dans le problème des points entiers proches d'une courbe.
Cela ne mange pas de pain, et permettrait de se démarquer un peu des sempiternelles leçons bâties sur le même modèle que le jury commence à connaître par coeur.
Au fond, à chacun de voir, en fonction de ses goûts et de ses savoirs, ce qu'il peut en tirer. Si j'avais eu ces connaissances à l'époque où j'ai passé l'agreg, je les aurais utilisées.
Borde. -
Je l'ai acheté au Furet du Nord à Lille et ils en avaient un dizaine environ, et je crois l'avoir vu quelquepart près de Aix-Marseille dans je sais plus quelle librairie.
Je ne m'y suis pas encore plongé, j'aime bien ce que j'ai lu pour l'instant, surtout le fait que le plan soit choisi en fonction des maths et non pas en fonction d'un programme à suivre. Attention à la petite ``typo'' dans la préface qui dit que l'adresse de ce site est http://www.les-mathématiques.net alors que c'est http://www.les-mathematiques.net en réalité.
Pour les détails vraiment pas importants et reliés à mes préférences {\it personnelles}, j'aime pas la notation ln, je trouve que $\square$ est plus joli que le petit rectangle noir pour la fin des preuves et que pgcd et ppcm ne devraient pas être en italique (comme par exemple log, sin, ln, exp, etc...). (Je répète que c'est purement personnel !)
Sinon c'est agréable d'avoir un livre de chez Ellipses dont la reliure est de bonne qualité.
J'espère pouvoir apporter des critiques et des remarques vraiment utiles une fois que j'aurai lu le livre en entier. -
Oui, j'attends cela.
Concernant la notation $\ln$, tu liras le petit baratin que j'ai mis dans les notations en bas de la page vii. Concernant le pgcd /ppcm en italique ou pas, ceci est plutôt dû à mon logiciel Scientific Word. Le carré blanc me semble, quant à lui, moins visible que le noir, mais, en un certain sens, tu as raison : autant le noir était officiellement la marque de fin de preuve au début des années 90, autant le blanc l'est plus actuellement. Et même mieux, il faudrait le mettre en bout de ligne...Mais, là encore, le Scientific Word que j'ai date de 1996, et était réglé sur la mode de l'époque. A près de 700 euros le logiciel, je n'ai pas hésité longtemps lorsque je me suis demandé s'il fallait acheter la dernière version ou pas.
Bonne lecture,
Borde. -
Héhé oui j'avais lu le ``baratin'' à propos de la notation ln et j'imagine que ces choses étaient dues à des détails techniques.
Par contre c'est quoi Scientific Word ?
N'avais-tu pas le droit d'écrire un code en LaTeX puis de le compiler (ou pas) pour le donner à Ellipses ? Problèmes liés à des licences de logiciels ? (En fait ça m'intrique de savoir ce qu'il y a entre toi qui écrit ton texte mathématique et Ellipses qui l'imprime.) -
Scientific Word est un logiciel qui compile le LaTeX, mais tu écris dans un langage conventionnel, à l'aide de simples boutons ("sommes", "intégrales", etc) comme sous Word. Autrement dit, inutile de se farcir la lourdeur qu'il y a autour du LaTeX, ce logiciel le fait pour toi, ce qui est extrêmement confortable. Voilà son avantage.
Quant aux inconvénients, j'en vois 2 :
(i) Tu ne maîtrises pas tout (la pagination, la mise en page, etc, dépendent du style que tu as choisi, et on n'y a pas accès).
(ii) Ce logiciel est horriblement cher !
Quant à l'écriture du livre proprement dite, le manuscrit que tu envoies est quasiment la mouture finale du livre. Ce que tu as entre les mains, c'est (pratiquement) ce que j'ai tapé chez moi !
Enfin, pour le logarithme, on a adopté il y a quelques années, et ce définitivement, la notation $\ln$ (que, moi non plus, je n'aime pas trop). En particulier en terminale, c'est (exclusivement) cette notation que l'on utilise pour le logarithme "naturel". Cependant, l'arithmétique est une vieille branche des mathématiques, qui possède en tant que telle son lot de traditions : écrire le logarithme par $\log$, et les itérés par $\log_k$, en est une, et il faut le savoir si l'on souhaite lire des articles de théorie des nombres. C'est ce que tu as pu lire dans les notations (il fallait vraiment que je pense à tout !...).
A +
Borde. -
Dans le même genre, y'a Lyx qui est open source, évidemment gratuit, et qui permet d'inclure du LaTeX dans le document pour les modifications un peu fines.
-
Bonsoir Borde
j'ai été heureux de lire et comprendre le corollaire 4.21. Je lis ce livre en me disant "penser c'est dire non" aussi, voilà pour ma remarque désobligeante et m'en excuse au regard du travail accompli.
Avec les livres de Pierre Samuel et de Marc Guinot vous êtes la troisième personne dont je lis un livre de théorie des nombres écrit en français, et là où j'en suis en première approximation c'est entre les deux.
aïe bientôt le chapitre 5, s'enrichir au sens noble du terme mais il n'y a pas de vol royal (sourire)
aimablement
S -
Salut Samok,
Tu n'as absolument pas à t'excuser, bien au contraire. Toute opinion, quelle qu'elle soit, et d'où qu'elle vienne, est susceptible de m'intéresser, et j'essaierai d'y répondre dans la mesure de mes moyens.
En fait, le principal objectif, c'est de se faire plaisir. Si ce livre parvient à t'accrocher un tant soit peu à ce niveau-là, alors ce sera partie gagnée.
Quant au chapitre 5, c'est en quelque sorte le "bonus" de cet ouvrage. J'y ai mis toute mon énergie dedans. Espérons que le résultat soit à la hauteur.
A +
Borde. -
<BR>Des logiciels libres et gratuits qui permettent de faire du <SPAN CLASS="logo,LaTeX">L<SUP><SMALL>A</SMALL></SUP>T<SMALL>E</SMALL>X</SPAN> sans codage sont
<BR>
<BR>- LyX <a href=" http://logiciels-libres-cndp.ac-versailles.fr/article.php3?id_article=15"> http://logiciels-libres-cndp.ac-versailles.fr/article.php3?id_article=15</a>, qui fonctionne apparement sous Windows aussi <a href=" http://wiki.lyx.org/Windows/Windows"> http://wiki.lyx.org/Windows/Windows</a>
<BR>
<BR>- TeXmacs <a href=" http://logiciels-libres-cndp.ac-versailles.fr/article.php3?id_article=11"> http://logiciels-libres-cndp.ac-versailles.fr/article.php3?id_article=11</a>, qui tourne également sous Windows <a href=" http://www.texmacs.org/tmweb/download/windows.en.html"> http://www.texmacs.org/tmweb/download/windows.en.html</a>
<BR>
<BR>
<BR>Voilà, j'essaierai de lire votre livre bientôt...<BR> -
Merci Abc, tant pour ces logiciels que pour l'intérêt porté à ce travail.
Borde. -
Salut à tous,
Félicitations bien sûr à Borde pour un bouquin qui va sûrement devenir une référence en arithmétique... Je l'ai acheté à Rouen, à la librairie l'Armitière, où il était en bonne place.
Je reviens juste sur Bézout, pour apporter un (modeste) complément à l'intervention de Norbert Verdier. J'ai cherché sur Gallica, et on trouve -
Suite de mon message précédent... car j'ai lamentablement merdouillé!
Le bouquin est signé Bézout, et date de 1779, soit 4 ans avant la mort de Bézout...
Par contre pour son traité d'arithmétique, réédition postérieure à sa mort puisque datée du début du 19e siècle, toujours sur Gallica, on retrouve l'orthographe ancienne, Bezout sans accent!
Bon donc, il vaudrait mieux dire Bézout, et puis cela sonne un peu comme bisou. Cela ne fait pas de mal en maths, hein?
Cordialement,
Christian V -
Bonsoir à tous;
Evidemment le dernier argument de Christian est imparable. Je possède une édition de Bézout de son "Cours de mathématiques à l'usage de la marine et de l'artillerie" (1799). L'accent figure. Cela étant accent ou pas accent, l'important c'est le livre de Olivier. Il a réussi à faire entrer son lecteur dans une arithmétique audacieuse et exigeante avec des moyens élémentaires (à la portée d'un terminale S "motivé"). Bravo. Bien cordialement. NV -
J'ai commandé le livre cet après-midi à la FNAC de Rouen. Vivement le 15 !
-
Salut Christian, et merci de ton intérêt pour livre. Il est vrai que j'ai toujours du mal à écrire les noms correctement, et Bézout semble être la typographie actuelle...La référence en matière d'histoire des Mathématiques est la travail de Norbert Verdier. C'est lui qui m'a appris, par exemple, que tous les <I>Tchebychev</I> que j'ai écris ne sont pas conformes à la volonté de ce grand maître des mathématiques. Tant pis, j'espère qu'il ne m'en voudra pas !
<BR>
<BR>Un bonjour à Norbert et Sylvain pour terminer...
<BR>
<BR>Borde.<BR> -
Voilà, je l'ai reçu !
Je n'ai eu le temps que de le parcourir, mais déjà... Je le trouve étonnament accessible ! Et c'est pas peu dire avec de l'arithmétique. Les chapitres 3 et 4 sont véritablement passionants... mais pas faciles du tout.
Le 5 attendra que mon niveau augmente...
Encore félicitations pour cet ouvrage de qualité !
Cordialement -
Moi aussi je l'ai reçu !! il est vachement beau et ya des vrais formules dedans !!
sans dec, je suis pas capable de juger, mais le peux que j'en ai déjà lu est à l'image des interventions de Borde sur ce forum crystal clear, je ne suis pas déçu !!
Pour aider à faire progresser la science à mon échelle : une coquille page vii §4 (des notations)
pgcd(a,b) (resp. ppcm(a,b) ) est le plus grand diviseur (resp. multiple) ...
il fallait lire resp. plus petit multiple...
une pécadille ...
bonne chance pour la suite -
Merci, Muaddob, je note cela dans mes coquilles...La plus "importante" étant le corrigé page 201 de l'exo 4.17 dont j'ai déjà parlé (mais qui est facilement rectifiable).
Je remercie bien évidemment toutes les personnes s'intéressant à ce travail.
Borde. -
Pour Naos,
Je pense que ton niveau actuel devrait te permettre de suivre normalement le chapitre 5. Les outils utilisés sont essentiellement le THAF et sa généralisation sous la forme des différences divisées, qui sont rappelées au chap 1. Si tu as des questions, n'hésite pas !
Borde. -
Fichier bezout1.pdf : fac-similé d'un extrait de "Histoire de l'Académie Royale des sciences, année MDCCLXV", publiée en MDCCLXVIII.
Fichier bezout2.pdf : fac-similé d'un extrait de "Histoire de l'Académie royale des sciences, année MDCCLVIII", publiée en MDCCLXIII.
Je tiens d'un éminent spécialiste d'histoire des maths que le patronyme Bézout s'écrirait plutôt avec un accent, ce spécialiste ayant eu entre ces mains un document testamentaire autographe. -
bonsoir,
j'ai aussi reçu le livre et je le trouve très intéressant: en effet il peut très bien enrichir des leçons pour l'agrégation
Cependant je me pose une question:
pourquoi donner des hypothèses aussi fortes au théorème de Rolle et aux accroisements finis? ( même si dans le chapitre 5 les fonctions sont fortements régulières )
il y a surement quelque chose qui m'échappe ;-)
Disons que pour les oraux il est important de savoir si les énoncés sont "optimaux" et comme les jurys ont toujours la bonne idée de s'informer la ou on s'attend le moins.... :-)
merci -
Merci Trivecteur, il semble effectivement que Bézout s'écrive avec un accent...Mais, moi, je l'avais appris sans accent (dans ma jeunesse), et comme je suis assez nostalgique, le réflexe est resté !
Cyrille,
Tu as raison, j'ai mis des hypothèses plus fortes que d'habitude sur ces théorèmes, à cela trois raisons :
(i) Comme tu le dis, et comme c'est rappelé en bas de la page 8, ils seront utilisés avec des fonctions satisfaisants ces hypothèses (et même plus, certaines seront $\R-$analytiques...).
(ii) Ce livre n'est pas un traité d'analyse, et le chapitre 1 repertorie les outils utilisés dans la suite, et mis sous leur forme la plus pratique : en théorie analytique des nombres, les fonctions intervenant dans ces problèmes compliqués sont (le plus souvent) très régulières (heureusement, d'ailleurs, ces problèmes sont déjà suffisamment difficiles !), ce qui, en outre, a obligé certains chercheurs (Fouvry, Iwaniec, etc) à établir des théorèmes valides seulement pour une certaine classe très particulière de fonctions (les fonctions "monomiales").
(iii) Je trouve qu'il y a une certaine "symétrie" entre le Rolle n°1 et le Rolle n°2 du théorème 1.11. Je ne me souviens pas avoir vu un Rolle généralisé sans utiliser une hypothèse de régularité assez forte. Mais peut-être existe-t-il, les spécialistes d'analyse répondront sans aucun problème là-dessus.
Voilà ! J'espère que ces explications seront convaincantes, et, encore une fois, merci de l'intérêt porté à ce travail.
A bientôt,
Borde. -
Bonjour,
merci borde pour toutes ces explications :-)
En tout cas le livre est très bien fait et il est très agréable à lire... -
C'est plutôt moi qui remercie tous ceux qui sont intéressés par ce travail. Il me paraît utile de dire que tous ces témoignages me font chaud au coeur. Ceci dit, cela ne doit pas exclure les critiques "négatives". En effet, comme tout texte mathématique (ou autre), il n'est pas sans défaut (sans parler des inévitables coquilles). Donc, j'attends vos remarques :-)
Borde. -
Bonsoir Borde
j'ai arrêté au chapitre 5, un peu dégouté de manipulations sommatoires, les grands O les <<, ça m'a redonné envie de reprendre le livre de P.Samuel (Théorie algébrique des nombres).
En tout cas, j'ai trouvé une belle énergie dans ce livre, montrer autant que faire se peut les idées, et les situer dans l'histoire.
(post-it : lire ce chapitre 5)
aimablement
S -
Merci, Samok, de ton intérêt et ton témoignage.
Il est calir que ce livre "tend" plus vers la théorie analytique des nombres que la théorie algébrique des nombres. Mentionnons quand même une majoration du nombre de classes d'un corps de nombres quelconque en page 197 (car, je n'ai pas pu m'empêcher d'évoquer la théorie algébrique, tout de même !).
Borde. -
borde > il y a une note de lecture de votre ouvrage dans le numéro 60 de quadrature. Elle est assez sympathique et elogieuse. Je pense que vous etes au courant, toutefois si cela vous importe je peux la scanner...
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