Intégration par parties multidimensionnelle
Bonjour !
Auriez-vous des références qui traitent de ce que le jury de l'agrégation externe appelle dans le programme "formule d'intégration par parties multidimensionnelle" ?
Donnée par :
$$
\int_\Omega \partial_{x_j} f(x) dx = \int_{\partial \Omega} f(x) \nu_j(x) d\sigma(x),
$$ "sur un domaine $\Omega \subset \mathbb{R}^d$, de frontière $\partial \Omega$ « suffisamment régulière », avec $d\sigma$ la mesure de Lebesgue sur $\partial \Omega$ et $\nu(x) $ le vecteur unitaire extérieur en $x \in \partial \Omega$."
Ou peut-être porte-elle un autre nom ? Merci à vous !
Edit : Merci Calli !
Auriez-vous des références qui traitent de ce que le jury de l'agrégation externe appelle dans le programme "formule d'intégration par parties multidimensionnelle" ?
Donnée par :
$$
\int_\Omega \partial_{x_j} f(x) dx = \int_{\partial \Omega} f(x) \nu_j(x) d\sigma(x),
$$ "sur un domaine $\Omega \subset \mathbb{R}^d$, de frontière $\partial \Omega$ « suffisamment régulière », avec $d\sigma$ la mesure de Lebesgue sur $\partial \Omega$ et $\nu(x) $ le vecteur unitaire extérieur en $x \in \partial \Omega$."
Ou peut-être porte-elle un autre nom ? Merci à vous !
Edit : Merci Calli !
Réponses
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Bonjour ! Justement, j'ai l'impression de ne pas retrouver le même énoncé sur cette page Wikipédia
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Il y a un truc qui est bizarre dans ta formule initiale: $\displaystyle \partial_{x_j} f(x)$ c'est quoi ce $j$, j'imagine que c'est un entier mais il vaut quoi? C'est quoi $f$?
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Malheureusement, ce n'est pas précisé dans le programme : https://media.devenirenseignant.gouv.fr/file/agregation_externe_21/90/9/p2021_agreg_ext_mathematiques_1274909.pdf
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Bonsoir,
C'est pas ça la formule, c'est $$\int_\Omega \partial_{x_j} f(x)\,{\rm d}x=\int_{\partial \Omega} f(x)\nu_j(x)\,{\rm d}\sigma(x)$$
$f$ est une fonction $\mathcal{C}^1$, $\Omega$ est à bord $\mathcal{C}^1$ (peut-être bien que $\mathcal{C}^1$ par morceaux marche aussi).
On peut la démontrer en appliquant le théorème de Green au champ de vecteurs $f(x)\vec e_j$. -
Calli:
Pourtant la formule donnée dans le premier message semble être présente dans un document de l'EN si je n'ai pas la berlue.
Edit: la formule a été mal recopiée. -
Au temps pour moi pour cette faute d'inattention, merci !
Alors connaissez-vous des références parlant de l'usage de cette formule ? -
Non je n'ai pas de référence. C'est pour citer un ISBN à l'agreg que tu as besoin d'une référence, ou bien parce que tu as encore des interrogations sur cette formule ? (auquel cas je peux peut-être répondre)
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C'est davantage pour des interrogations.
Je voudrais juste connaître quelques exemples concrets d'utilisation, si vous en connaissez s'il vous plaît ? -
D'accord. Je commence par donner un énoncé complet des théorèmes pour être au clair là-dessus.
Notations : On fixe $d\in\Bbb N^*$, $j\in[\![1,d]\!]$, $\Omega\subset \Bbb R^d$ un ouvert à bord de classe ${\cal C}^1$, $\sigma$ la mesure de Lebesgue sur $\partial \Omega$ et $\nu:\partial \Omega \to \Bbb R^d$ le vecteur unitaire normal à $\partial \Omega$ et pointé vers l'extérieur.
Théorème de Green : Pour tout champ de vecteurs $V\in{\cal C}^1(\overline\Omega,\Bbb R^d)$ à support compact, $\displaystyle \int_\Omega \mathop{\rm div}( V)\,{\rm d}x = \int_{\partial\Omega} V\cdot \nu \,{\rm d}\sigma$.
Corollaire : Pour toute fonction $f\in{\cal C}^1(\overline\Omega,\Bbb R)$ à support compact, $\displaystyle \int_\Omega \partial_j f\,{\rm d}x=\int_{\partial \Omega} f\,\nu_j\,{\rm d}\sigma$
Application 1.a : Soit un ouvert $\Omega\subset\Omega'\subset \Bbb R^d$. Alors au sens des distributions sur $\Omega'$, on a : $\partial_j {\bf1}_\Omega = -\nu_j \,\sigma$.
Application 1.b : Au sens des distributions sur le même $\Omega'$, on a : $\sigma = - \nu\cdot \nabla {\bf1}_\Omega$.
Application 2 (généralistion de la formule des sauts) : Soit $f:\Bbb R^d\to\Bbb R$ une fonction telle que $f_{|\Omega}$ est prolongeable en une application ${\cal C}^1$ sur un voisinage de $\overline \Omega$ et, de même, $f_{|\Bbb R^d\setminus\overline\Omega}$ est prolongeable en une application ${\cal C}^1$ sur un voisinage de $\Bbb R^d\setminus \Omega$. Notons, pour tout $x\in\partial \Omega$, $[f]_{\partial \Omega}(x) = \lim\limits_{t\to0^+}[ f(x+t\nu(x))-f(x-t\nu(x))]$. Alors $$\partial_j ^{\cal D'} \! f = \partial_j ^{{\cal C}^1} \!f + [f]_{\partial\Omega}\,\nu_j \,\sigma$$ où $\partial_j ^{\cal D'}\!f$ désigne la dérivée au sens des distributions sur $\Bbb R^d$ et $\partial_j ^{{\cal C}^1}\!f $ désigne la dérivée classique (définie sur $\Bbb R^d\setminus\partial \Omega$).
Principe de la preuve : Soit $\varphi\in{\cal D}(\Bbb R^d)$. Appliquer l'IPP multidimensionnelle à $f\varphi$ sur $\Omega $ et $\Bbb R^d\setminus\overline\Omega$. -
Merci beaucoup ! J'appréhende beaucoup mieux d'où cela peut venir !
Et avez-vous un exemple d'application pour un calcul d'intégrale? -
Non, je ne connais pas d'exemple intéressant pour le calcul d'une intégrale.
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D'ailleurs je n'aime pas du tout ce nom "d'IPP multidimensionnelle". Une IPP normalement c'est du type $\int f'g=-\int fg' +\text{des trucs avec $f$ et $g$}$. Là, c'est plutôt une version du théorème fondamental de l'analyse ; un truc du type $\int f' = \text{truc qui dépend de $f$ au bord}$.
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C'est pas tout simplement la formule de Green-Rieman en dimension $d$?
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C'est la formule de Stokes déguisée.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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Merci !
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Bonjour!
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