Le constructivisme en mathématiques
Bonjour à tous,
Je recherche un bon livre sur le constructivisme en mathématiques : son histoire, ses différents courants (finitisme, intuitionnisme, etc.), ce qu'il est possible de faire et de ne pas faire. En somme, j'aimerais avoir une vue d'ensemble, principalement historique et épistémologique. Quelqu'un aurait-il ça sous la main ? Les quelques références que j'ai pu trouver sont plutôt anciennes, et je ne voudrais pas passer à côté des développements récents.
Je recherche un bon livre sur le constructivisme en mathématiques : son histoire, ses différents courants (finitisme, intuitionnisme, etc.), ce qu'il est possible de faire et de ne pas faire. En somme, j'aimerais avoir une vue d'ensemble, principalement historique et épistémologique. Quelqu'un aurait-il ça sous la main ? Les quelques références que j'ai pu trouver sont plutôt anciennes, et je ne voudrais pas passer à côté des développements récents.
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Réponses
On trouve pas mal de choses sur [la page d'Henri Lombardi].
Tu peux peut-être consulter la page de Thierry Coquand in http://www.cse.chalmers.se/~coquand/ pour te donner des idées. Tiens un truc amusant, directement consommable (?), Tiling rectangles in http://www.cse.chalmers.se/~coquand/tile.ps. Peut-être que tu connais ce truc ``Tiling rectangles'' ?
Il y a aussi la page de Fred Richman in http://math.fau.edu/richman/ Son livre ``A course in constructive algebra'' (avec Mines et Ruitenberg) a été traduit récemment par Henri Lombardi.
Dans un autre domaine, la Topologie Algébrique, il y a Francis Sergeraert in https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~sergerar/ Jette un oeil sur ``Talks''. Cf aussi https://arxiv.org/pdf/math/0111243.pdf
Quand tu auras lu tout cela, peut-être que tu pourras nous raconter des choses ? De mon côté, je ne sais pas trop ce que c'est les ``Maths constructives''. J'ai cru comprendre qu'il m'arrivait d'en faire mais je ne le crie pas sur les toits (je n'ai pas envie que l'on me jette des pierres).
Anti-exemple: il existe $t\in \{0,...,9\}$ apparaissant une infnité de fois dans le développement décimal de $\pi+e$.
Merci pour ces pistes, je vais regarder tout ça attentivement.
J'avais espéré trouver une synthèse, plutôt que des références techniques sur chaque domaine, mais il semble bien qu'il va falloir me résigner à mettre les mains dans le cambouis !
J'ai déjà rencontré ce problème, mais pas du point de vue constructif. Je me rappelle avoir lu ce document, rassemblant quatorze solutions du problème : certaines solutions sont vraiment intéressantes.
Il ne faudra pas être pressé alors :-D
Ce qui m'intéresse surtout, c'est de comprendre pourquoi il n'est pas raisonnable de se limiter aux objets que l'on sait "construire". Après tout, c'est une réponse légitime à la crise des fondements. Pourtant, ce n'est pas la voie qui a été suivie ; il doit donc y avoir quelque chose de plus subtil là dessous, et j'aimerais comprendre. D'après ce que j'ai lu, il y a déjà des choses très intéressantes à faire sur la "construction" des nombres réels.
Justement, que veut dire "explicite" ici ? Qu'est-ce qu'un réel "explicite" ? Ça ne me semble pas évident du tout. D'ailleurs, il n'y a sans doute pas qu'une seule manière de répondre à cette question. Moralement, on aimerait l'encoder par un nombre fini de caractères, par exemple par une machine de Turing qui engendre son développement décimal, mais attrape-t-on vraiment tous les réels "raisonnables" de cette manière ?
Soient $(D^1_n)_{n\in \N}$ une famille de parties de $\N$ (mettons) et $(D^2_n)_{n\in \N}$ une famille de parties de $\N^2$ (qu'on va appeler respectivement -noms de baptême- "parties constructibles de $\N$" et "parties constructibles de $\N^2$). On suppose qu'il existe une application de $\N$ dans lui-même notée $n\mapsto n^*$ et telle que pour tous $p,q\in \N$, $p\in D^1_q$ si et seulement si $(p,p)\in D^2_q$.
Alors l'ensemble des couples $(m,n)\in \N^2$ tels que $m\notin D_n$ n'est pas constructible.
En effet, dans le cas contraire, soit $k\in \N$ tel que cet ensemble soit égal à $D^2_k$.
Si $k^*\in D^1_{k^*}$ alors $(k^*,k^*)\notin D^2_k$ et donc $k^* \notin D_1{k^*}$.
Si $k^*\notin D^1_{k^*}$ alors $(k^*,k^*)\in D^2_k$ et donc $k^* \in D_1{k^*}$.
On obtient donc une contradiction.
La question qui me semble intéressante est la suivante : si l'on pense les mathématiques constructives comme strictement incluses dans les mathématiques classiques, y a-t-il des objets ou arguments en mathématiques classiques qui doivent être dans n'importe quelle théorie mathématique "raisonnable" mais qu'on ne peut pas trouver pas en mathématiques constructives ? Ça me semble être une question fondamentale.