matrice d'une application linéaire

J'utilise \LaTeX depuis un bon momentn mais je n'arrive pas à maitriser cet outil !
Puis-je vous demander la façon la plus élégante pour représenter la matrice d'une application linéaire relativement à des baese $<e_1,...,e_n>$ et $<f_1,...,f_m>$. Voice un essai qui n'est pas satisfaisant :
Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels et soit $u\in\mathscr{L}(E,F)$.
$\mathcal{B}_E=\Big\{e_1,...,e_m\Big\}$ base de $E$, $\mathcal{B}_F=\Big\{f_1,...,f_n\Big\}$ base de $F$. La matrice de $u$ dans les bases $\mathcal{B}_E$ et $\mathcal{B}_F$ est, si $u(e_j)=a_{1j}f_1+...+a_{nj}f_n$ :
\[M(u,\mathcal{B}_E,\mathcal{B}_F)=
\begin{array}{ll}
\begin{array}{ccccc}
e_1&\cdots&e_j&\cdots&e_m\\
u(e_1)&\cdots&u(e_j)&\cdots&u(e_m)
\end{array}\\
\begin{pmatrix}
\cdots&\cdots& a_{1j}&\cdots&\cdots\\
\hdotsfor[.3]{5}\\
\cdots&\cdots &a_{ij}&\cdots&\cdots\\
\hdotsfor[.3]{5}\\
\cdots&\cdots&a_{nj}&\cdots&\cdots
\end{pmatrix}\begin{array}{c}
f_1\\
\vdots\\
f_i\\
\vdots\\
f_n
\end{array}
\end{array}\]
Je m'intéresse aussi à :
1) L'analogue, si il existe, de \hdotsfor pour suite de points verticales.
2) Comment représenter la méthode du pivot de Gauss, avec les opérations élémentaires. de manière élégante en \LaTeX ?

Merci pour votre aide.
Amicalement.