Zéros du polynôme
dans Analyse
Bonjour
Sous quelle condition sur les coefficients du polynôme $P$ pour qu'il n'admette pas des racines sur le cercle unité ??
$$P(z)=b_0+b_1z+\cdots+b_nz^n,\ z\in\C,
$$ avec $b_0,b_1,\ldots,b_n\in\R\setminus\{0\}.$
Sous quelle condition sur les coefficients du polynôme $P$ pour qu'il n'admette pas des racines sur le cercle unité ??
$$P(z)=b_0+b_1z+\cdots+b_nz^n,\ z\in\C,
$$ avec $b_0,b_1,\ldots,b_n\in\R\setminus\{0\}.$
Réponses
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Déjà si tous les bi sont nuls cette condition est satisfaite.
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Bonjour,
En voilà une : pour tout $i\in\left\{ 0,\cdots,n\right\} $, $b_{i}=\left(\begin{array}{c}
n\\
i
\end{array}\right)2^{n-i}$.
il y en a pleins d'autres des suffisantes comme celle-ci
Quelle est vraiment la question ?
. -
Une autre condition suffisante :
$$\sum_{k=0}^{n}b_{k}^{2}>2\sum_{0\leqslant k<k'\leqslant n}\left|b_{k}b_{k'}\right|$$ -
Est-ce qu'il y a des conditions générales sans prendre les $b_i$ explicitement, c'est-à-dire les inégalité sur les $b_i$ ??
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Tu n'as pas précisé si tu voulais une condition suffisante, une condition nécessaire ou bien une condition à la fois nécessaire et suffisante.
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Non juste condition suffisante pour dire que le polynôme P n'admet [pas] de racine sur le cercle unité. Je n'ai pas écrit le polynôme explicitement car il est difficile d'expliquer.
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Ma condition suffisante te suffit-elle ? :-)
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il est compliqué dans notre cas par ce que les $b_i$ sont sous forme de exponentielle et intégrale (:P)
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Comment les lecteurs de ce fil peuvent-ils deviner la forme de tes $b_i$ ?
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$$\begin{aligned}
P(z)=&z^{(p_1+p_2+p_3)}+\frac{e^{-2D_3}}{3}z^{(p_1+p_2)}+\frac{e^{-2D_2}}{3}z^{(p_1+p_3)}+\frac{e^{-2D_1}}{3}z^{(p_2+p_3)}-\frac{e^{-2(D_2+D_3)}}{3}z^{p_1}\\
&-\frac{e^{-2(D_1+D_3)}}{3}z^{p_2}-\frac{e^{-2(D_1+D_2)}}{3}z^{p_3}-e^{-2D},
\end{aligned}$$
avec $$D_j,\ j=1,2,3\in\R\ et\ p_j,\ j=1,2,3\in\N$$ -
Et si on supposait tous les bi égaux ?
-
Malheureusement les $b_i$ ne sont pas égaux
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Heureusement plutôt ! Sinon les n racines seraient sur le cercle unité
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Et as-tu essayé ma condition avec tes coefficients ? Si oui à quoi aboutis-tu ?
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troisqua
Est-ce que tu peux me donner une référence sue cette condition ?
$$
\sum_{k=0}^{n} b_{k}^{2}>2 \sum_{0 \leqslant k<k^{\prime} \leqslant n}\left|b_{k} b_{k^{\prime}}\right|
$$ -
Tu poses $P=\sum_{k=0}^{n}b_{k}X^{k}\in\mathbb{R}\left[X\right]$ et tu cherches une condition suffisante pour avoir, pour tout réel $x$
\[
\left|P\left(e^{ix}\right)\right|^{2}>0
\]
et comme on a
\begin{align*}
P\left(e^{ix}\right)\overline{P\left(e^{ix}\right)} & =\sum_{k=0}^{n}b_{k}e^{ikx}\sum_{k'=0}^{n}b_{k'}e^{-ik'x}\\
& =\sum_{k=0}^{n}b_{k}b_{k'}e^{i\left(k-k'\right)x}\\
& =\sum_{k=0}^{n}b_{k}^{2}+\sum_{0\leqslant k,k'\leqslant n,k\ne k'}^{n}b_{k}b_{k'}e^{i\left(k-k'\right)x}\\
& =\sum_{k=0}^{n}b_{k}^{2}+\sum_{0\leqslant k<k'}^{n}b_{k}b_{k'}\left(e^{i\left(k-k'\right)x}+e^{-i\left(k-k'\right)x}\right)\\
& =\sum_{k=0}^{n}b_{k}^{2}+2\sum_{0\leqslant k<k'}^{n}\underbrace{b_{k}b_{k'}\cos\left(\left(k-k'\right)x\right)}_{\geqslant-\left|b_{k}b_{k'}\right|}\\
& \geqslant\sum_{k=0}^{n}b_{k}^{2}-2\sum_{0\leqslant k<k'}^{n}\left|b_{k}b_{k'}\right|
\end{align*}
on en déduit la condition annoncée. -
Bonjour troisqua, merci pour l'idée.
Est-ce que tu peux aider pour ça ??
Lorsque j'ai un polynôme $P$
$$P(z)=b_3z^3+b_2z^2+b_1z^1+b_0,
$$ les $b_i\in\R_+$, donc la condition suffisante pour [que] $P$ n'admette pas de racine sur le cercle unité est :
$$
\sum_{k=0}^{n} b_{k}^{2}>2 \sum_{0 \leqslant k<k^{\prime} \leqslant n}\left|b_{k} b_{k^{\prime}}\right|
,
$$ donc $$b_0^2+b_1^2+b_2^2+b_3^2>2\left(b_0b_1+b_0b_2+b_0b_3+b_1b_2+b_1b_3+b_2b_3\right)
$$ Le but est de simplifier cette condition par exemple écrire comme une forme quadratique ou trouvé inégalité entre les $b_i$. -
Tu as oublié les valeurs absolues sur les produits.
Je ne sais pas si c'est "la condition suffisante" mais c'en est une. -
Les $b_i$ sont positifs.
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Une condition suffisante bateau mais qui a une tête qui pourrait marcher pour toi (tu n'as pas dit qui était D): $\sum_{k=0}^{n-1}|b_k|< |b_n|$
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$D=\sum_{i=1}^3D_i,\ D_i\in\R$.
-
Dans ce message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2257174,2257290#msg-2257290 , les $b_i$ ne sont pas tous positifs.
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troisqua
je parle sur cette inégalité les $b_i$ sont en valeur absolue
$$b_0^2+b_1^2+b_2^2+b_3^2>2\left(b_0b_1+b_0b_2+b_0b_3+b_1b_2+b_1b_3+b_2b_3\right).
$$ Est-ce que je peux écrire cette expression en forme quadratique
$$b_0^2+b_1^2+b_2^2+b_3^2-2\left(b_0b_1+b_0b_2+b_0b_3+b_1b_2+b_1b_3+b_2b_3\right)$$ -
Donc ma condition à l'air de marcher avec tes valeurs. Le polynome est unitaire et constitué de 7 autres coefficients tous inférieurs à 1/7, donc la somme est plus petite que 1
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Namiswan
la question maintenant
est-ce que je peux écrire cette expression en forme quadratique ?
$$b_0^2+b_1^2+b_2^2+b_3^2-2\left(b_0b_1+b_0b_2+b_0b_3+b_1b_2+b_1b_3+b_2b_3\right)$$ -
C'est un carré simple !
J'ai mal lu, j'ai vu des +; désolé ! -
c'est pas simple d'écrire sous forme quadratique
-
Bonjour,
Pour la méthode générale, il s'agit de diagonaliser une symétrique...
Ici, la matrice sous-jacente est $\left(\begin{array}{cccc}
1 & -1 & -1 & -1\\
-1 & 1 & -1 & -1\\
-1 & -1 & 1 & -1\\
-1 & -1 & -1 & 1
\end{array}\right)$.
On peut la diagonaliser dans une BON sous la forme $\left(\begin{array}{cccc}
-2 & 0 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 2
\end{array}\right)$, et donc on aboutit à la forme :
$2\left(-a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}\right)$.
Je vous laisse chercher et effectuer le changement de base $b_{i} \to a_{j}$.. (flemme)
PS en $\dim$ quelconque $n$, on aboutit à : $\left(2-n\right)a_{0}^{2}+2\left(a_{1}^{2}+\cdots+a_{n-1}^{2}\right)$.
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Bonjour!
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