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Exercice

Escargots et coquilles

16 avril 2024 14:09 — Par
  • Michel Quercia

  1. Soient \(A_{1},A_{2},\dots,A_n\) des évènements. On veut prouver la formule du crible : \[\mathbb P (A_{1}\cup \dots\cup A_n) = \sum_i\mathbb P (A_i) - \sum_{i<j}\mathbb P (A_i\cap A_j) + \sum_{i<j<k}\mathbb P (A_i\cap A_j\cap A_k) - \dots+ (-1)^{n-1}\mathbb P (A_{1}\cap \dots\cap A_n).\]

    1. Traiter les cas \(n=2\) et \(n=3\).

    2. Pour le cas général, on note \(\mathbb 1 _A\) la fonction indicatrice de l’évènement \(A\). Exprimer \(\mathbb 1 _{\overline{A_{1}\cup \dots\cup A_n}}\) en fonction des \(\mathbb 1 _{A_i}\) et calculer son espérance.

  2. Soit \(\sigma \in S_n\). On dit que \(\sigma\) est un dérangement si \(\sigma (i)\neq i\) pour tout \(i\). Quelle est la probabilité qu’une permutation choise au hasard soit un dérangement ?

  3. La société Burgundy Snail Inc. reçoit chaque semaine 6000 escargots vivants. Elle les fait bouillir ensemble dans une grande marmite ce qui a pour effet (entre autres) de détacher chaque escargot de sa coquille. Les escargots bouillis flottent à la surface et les coquilles tombent au fond de la marmite. Une chaîne de traitement récupère les escargots et les assaisonne ; une autre chaîne récupère les coquilles, les nettoie et les fait briller. Puis escargots et coquilles rejoignent une troisième chaîne qui place chaque escargot dans une coquille et les emballe par boîtes de 12. On demande :

    1. La probabilité que chaque escargot se retrouve dans sa coquille d’origine.

    2. La probabilité qu’aucun escargot ne se retrouve dans sa coquille d’origine.

    3. La probabilité que chaque boite de 12 escargots contienne exactement un escargot qui est dans sa coquille d’origine.

Forum

L'application $A\mapsto {}^t A$ est un isomorphisme

18 avril 2024 23:24 — Par Amadou

Bonsoir ! Dans mon premier livre, il est dit que la vérification est évidente. Un des mots que je déteste quand il s'agit de démonstration. 


Pour mieux comprendre, j'ai utilisé mon deuxième livre pour avoir plus d'informations. Mais mais heureusement, ils m'ont laissé le soin de faire la démonstration (ce que j'aime même si je trouve ça difficile).


Voici les questions que je me pose. 

- Est-ce que cette écriture n'est pas simplement la linéarité de la transposée d'une matrice ?
- Est-ce que toutes les applications linéaires d'un espace vectoriel $E$ vers un espace vectoriel $F$ sont des isomorphismes …

Conseil pour choisir un domaine d'orientation

18 avril 2024 23:07 — Par Amadou

Bonjour ! J'ai besoin d'aide (conseil) pour choisir un domaine d'orientation en maths. Je me demande quel est le domaine le plus étudié en maths parmi l'algèbre, l'analyse, l'arithmétique, la probabilité et la géométrie.
1. Quelle branche me permettra d'avoir une connaissance large des maths ?
2. Quelle branche me permettra d'avoir une connaissance «plus»  approfondie des maths ?
3. Quelle branche est considérée comme étant la plus difficile ?
4. Comment est-ce qu'on peut savoir si on est doué dans une des branches ?
5. Est-il possible de «tout» comprendre en maths en se concentrant sur un seul domaine …

L’argument diagonal selon Wikipédia

18 avril 2024 22:19 — Par Sneg

[Soupirs. Et on recommence ? AD]
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2277624/vers-l-infini-et-au-dela

Ma réponse à la remarque de @AD se trouve ici :  https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2420471/#Comment_2420471

Bonjour
Sur la page Wikipédia consacrée à l’argument diagonal, au chapitre intitulé « Calculabilité », on peut lire : 
« Le raisonnement diagonal donné pour les réels reste bien également constructif. Supposons qu’une suite $(r_i)$ de réels entre $0$ et $1$ nous soit donnée effectivement par des développements décimaux : on dispose d’un algorithme qui peut calculer, étant donné deux entiers $i$ et $n$, la $n$-ième décimale d’un même développement de $r_i$. Etc. »
Mais, à ce que je sache, ce texte …

De la belle géométrie

18 avril 2024 21:23 — Par jelobreuil

Bonsoir à tous 
Ce problème a été proposé avant-hier sur le site "Art of Problem Solving", et il me semble qu'il devrait plaire à certaine et certains ...
Soit un triangle $ABC$, et le centre $I$ de son cercle inscrit. Le cercle de centre $I$ et de rayon $IA$ recoupe en $A'$ le cercle circonscrit, et coupe en $A'_1$ et $A'_2$ la médiatrice de $BC$, et les droites $A'A'_1$ et $A'A'_2$ recoupent le cercle circonscrit, respectivement, en $A_1$ et $A_2$. On construit de la même manière, en permutation circulaire, les deux paires de points $B_1$, $B_2$ et $C_1$, $C_2$.
Montrer …

Limite suite numérique

18 avril 2024 21:01 — Par etanche

Bonjour 
$a(n),b(n)$ suites réelles de limite 1. 

$u(n)$ suite réel strictement positif telle que pour tout $n\in \N$ 
$u(n+2)=a(n+1)u(n+1)+b(n)u(n)$
$x(n)=\frac{u(n+1)}{u(n)}$, $y(n)=\frac{\ln(u(n))}{n}$ 
Montrer que $x(n),y(n)$ convergent, et déterminer  leurs limites.

C’était le numéro 91 de la RMS, le corrigé de la RMS utilise limite supérieure et inférieur.
Défi écrire une solution sans limite supérieure et inférieure. 

Lexique

Prohorov

[Théorème] :
Prohorov Soit \(X\) une variable aléatoire de loi de Poisson \(p_m.\) Soit

\[\frac{\phi_n(m)}{n}=\|b_{n,m/n}-p_m\|.\]

Alors \[\lim_{n\rightarrow+\infty}\phi_n(m)=\phi(m)= \frac{1}{2}{\bf E}(|X-(X-m)ý|).\]

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