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Joyeux anniversaire Rescassol
Que cette nouvelle année te soit aussi réussie qu’une démonstration bien codée !
une majoration farfelue
On donne une suite de complexes $(a_n)$ de modules au plus $1$ et une constante absolue $M$ telle que : $\lvert \sum_{k=1}^n a_k \rvert \le M$. montrer que :
$$ \lvert \sum_{k=1}^n a_k/k \rvert \le 1 + ln (M)$$
À priori une transfo d'Abel s'impose pour travailler sur les sommes qu'on contrôle mais rien de concluant. Pareil pour une sommation d'Abel qui ne fera pas apparaître du $ln(M)$
Le rond des triangles
Soient $ABC$ et $P_1P_2P_3$ deux triangles du plan euclidien et $P_A,P_B,P_C$ trois points du plan tels que $BP_AC$, $CP_BA$ et $AP_CB$ sont (directement) semblables à $P_1P_2P_3$.
De plus les angles $AP_CB$, $BP_AC$ et $CP_BA$ sont égaux.
On note les triangles formés par leur centre de gravité $ABC\space o\space P_1P_2P_3$. On étend $o$ aux classes de similitudes sans souci de compatibilité[**], montrer que $o$ est associative.
Sur la figure $IJH=P_1P_2P_3\space o\space ABC$
(C'est une sous partie d'un long post passé à la trappe, donc je segmente)
EDIT j'ai changé $PQR$ en $P_1P_2P_3$ et $P_AQ_BR_C$ en $P_AP_BP_C$ à cause de la figure... …
compacité
Pourquoi nous nous intéressons à la compacité des opérateurs?
Un problème de Nguyen
Compacité des espaces projectifs
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension finie, muni de sa topologie usuelle, héritée de n’importe quelle norme (toutes les normes étant de toute façon équivalentes en dimension finie); alors l’espace projectif \(P(E)\) est compact pour la topologie quotient.