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Les derniers exercices

Exercice

Escargots et coquilles

16 avril 2024 14:09 — Par

Michel Quercia

Soient $A_{1},A_{2},\dots,A_n$ des évènements. On veut prouver la formule du crible : \[\mathbb P (A_{1}\cup \dots\cup A_n) = \sum_i\mathbb P (A_i) - \sum_{i<j}\mathbb P (A_i\cap A_j) + \sum_{i<j<k}\mathbb P (A_i\cap A_j\cap A_k) - \dots+ (-1)^{n-1}\mathbb P (A_{1}\cap \dots\cap A_n).\]
1. Traiter les cas $n=2$ et $n=3$.
2. Pour le cas général, on note $\mathbb 1 _A$ la fonction indicatrice de l’évènement $A$. Exprimer $\mathbb 1 _{\overline{A_{1}\cup \dots\cup A_n}}$ en fonction des $\mathbb 1 _{A_i}$ et calculer son espérance.
Soit $\sigma \in S_n$. On dit que $\sigma$ est un dérangement si $\sigma (i)\neq i$ pour tout $i$. Quelle est la probabilité qu’une permutation choise au hasard soit un dérangement ?
La société Burgundy Snail Inc. reçoit chaque semaine 6000 escargots vivants. Elle les fait bouillir ensemble dans une grande marmite ce qui a pour effet (entre autres) de détacher chaque escargot de sa coquille. Les escargots bouillis flottent à la surface et les coquilles tombent au fond de la marmite. Une chaîne de traitement récupère les escargots et les assaisonne ; une autre chaîne récupère les coquilles, les nettoie et les fait briller. Puis escargots et coquilles rejoignent une troisième chaîne qui place chaque escargot dans une coquille et les emballe par boîtes de 12. On demande :
1. La probabilité que chaque escargot se retrouve dans sa coquille d’origine.
2. La probabilité qu’aucun escargot ne se retrouve dans sa coquille d’origine.
3. La probabilité que chaque boite de 12 escargots contienne exactement un escargot qui est dans sa coquille d’origine.

Exercice

Limite de probabilités

16 avril 2024 14:12 — Par

Michel Quercia

Soit $(\mathbb P _k)_{k\in \mathbb{N}}$ une suite de probabilités sur $\mathbb{N}$ (avec la tribu $\mathcal P (\mathbb{N})$). On suppose que pour tout entier $n\in \mathbb{N}$, la suite $(\mathbb P _k(\{ n\} ))$ est convergente, de limite $p_n\in {[0,1]}$.

$\,$
1. Montrer que $\sum_{n\in \mathbb{N}}p_n\leq 1$.
2. Donner un exemple où la somme est strictement plus petite que $1$.
On suppose que $\sum_{n\in \mathbb{N}}p_n=1$ et on pose pour $k,n\in \mathbb{N}$ : $a_{n,k} = \min(\mathbb P _k(\{ n\} ),p_n)$.
1. Montrer que $\sum_{n\in \mathbb{N}}a_{n,k}\to _{k\to \infty }1$ et en déduire $\sum_{n\in \mathbb{N}}|\mathbb P _k(\{ n\} )-p_n|\to _{k\to \infty }0$.
2. Pour $X\subset \mathbb{N}$, montrer que $\mathbb P _k(X)\to _{k\to \infty }\sum_{n\in X}p_n$.
3. Prouver enfin que l’application $X\mapsto \lim_{k\to \infty }(\mathbb P _k(X))$ est une probabilité sur $\mathbb{N}$.

Exercice

$\mathbb P (k\mathbb{N})=1/k$ ?

16 avril 2024 14:12 — Par

Michel Quercia

On démontre dans cet exercice qu’il n’existe par de probabilité $\mathbb P$ sur $\mathbb{N}$ vérifiant : pour tout $k\in \mathbb{N}^*$, la probabilité qu’un entier choisi au hasard selon la probabilité $\mathbb P$ soit divisible par $k$ est égale à $1/k$. Pour cela, on raisonne par l’absurde ; soit $\mathbb P$ une telle probabilité.

Montrer que si $k_{1},\dots,k_m$ sont des entiers non nuls et deux à deux premiers entre eux, alors les évènements $A_i =$ $n$ est divisible par $k_i$ sont mutuellement indépendants.
Montrer que l’évènement $A =$ $n$ n’est divisible par aucun facteur premier est de probabilité nulle.
Généraliser et conclure.

Articles

Article

Marches aléatoires

26 juin 2022 15:30 — Par

CultureMath
Emmanuel Vieillard-Baron
Victor Rabiet

Article

Avancement des corrections

10 novembre 2021 18:35 — Par

Emmanuel Vieillard-Baron

Article

Guide pour les auteures et auteurs

24 novembre 2020 23:03 — Par

Emmanuel Vieillard-Baron

Article

Partenariat avec Culturemath

24 novembre 2020 22:26 — Par

Emmanuel Vieillard-Baron

Forum

Une égalité mystérieuse

19 avril 2024 17:51 — Par stfj

Bonjour,

Soit $p_1=2,p_2=3,p_3=5, p_4=7, p_5=11,...$ les nombres premiers.

Soit $$p_1\#:=p_1=2, p_2\#:=p_1\times p_2=2\times 3=6$$$$p_3\#:=p_1\times p_2\times p_3=2\times 3\times 5=30,...$$ les "primorielles".

J'ai récemment posé des questions au sujet de l'anneau $$\boxed{(\prod_{n=1}^{+\infty} \mathbb{Z} / p_n\mathbb Z,+,\times)} $$ où

$$\prod_p \mathbb{Z} / p=\mathbb Z/2\times \mathbb Z/3\times \mathbb Z/5\times \mathbb Z/7\times \mathbb Z/11\times...$$

________________________________

$$\varphi:\mathbb Z\to \prod_p \mathbb{Z} / p$$ $$n\mapsto (n,n,n,n,n,...)$$est un plongement de $\mathbb Z$, qui est injectif mais non surjectif.

___________________________

$$\prod_p \mathbb{Z} / p\approx \varprojlim(A_n,\varphi_n)$$

où $$\forall n\ge 1, A_n:=\mathbb Z/p_n\#\mathbb Z$$

En utilisant le théorème des restes chinois, ie l'isomorphisme $$\mathbb Z/2\times...\times \mathbb Z/p_n\approx A_n$$ $$\varphi_n((\xi_1,...,\xi_n)):=(\xi_1,...,\xi_{n-1})$$ où $x=(\xi_1,...,\xi_n)\in A_n$ …

Retour oraux agreg interne 2024

19 avril 2024 17:46 — Par m.c1

Bonjour à tous
Serait-il possible sur ce fil de mettre des retours d'oraux, que vous soyez candidats ou auditeurs libres,
du type :

Fonctionnement
Utilisation des tableaux, etc...

Oraux
Couplage
Développement choisi
Questions
Ressentis, etc..

Exercices
Bon courage à tous ceux qui passent les oraux ces jours ci.

Évolution dans le style de rédaction

19 avril 2024 17:32 — Par SMI

Bonjour,

J’ai remarqué plusieurs conseils de rédaction suggérant d’éviter l’emploi des connecteurs logiques dans les démonstrations, et je remarque que c’est la pratique de différents livres ou cours récents que j’ai pu compulser. Je trouve ça tout à fait pertinent.

En revanche, il me semble qu’il fut une époque (années 80) où l’on était beaucoup moins rigoureux sur ce point, en particulier au niveau lycée (qu’il s’agisse du prof au tableau ou de la rédaction des copies par les élèves).

Mon souvenir est-il pertinent ? À quand remonte ce changement, et sous quelle influence a-t-il eu lieu ?

Exposition topos à Paris du 4 au 13 avril 2024

19 avril 2024 17:29 — Par micheltombroff

L'exposition "Art et Mathématiques 5 - Topos" aura lieu du 4 au 13 avril 2024 à la Galerie Abstract Project, 5 rue des Immeubles Industriels, 75011 Paris. Le vernissage aura lieu le 3 avril à partir de 18h.

$\int_{0}^{1}\frac{\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-x^2 \sin^2 \theta}}d\theta}{\sqrt{y-x}}dx$

19 avril 2024 16:56 — Par gebrane

Bonjour

Justifie que

$$\int_{0}^{1}\frac{\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-x^2 \sin^2 \theta}}d\theta}{\sqrt{y-x}}dx=\sqrt{\frac{\pi}{4y}}\sum_{n=0}^{\infty}\bigg(\frac{\Gamma\big(\frac{1}{2}+n\big)}{n!}\bigg)^2 $$

En déduire que le cas $y=1$ donne $\frac{\Gamma^2(1/8)\Gamma^2(3/8)}{2^{9/2}\pi}$
Source MSE

Image d’une probabilité, variables aléatoires

Définition des variables aléatoires et de leur loi.

Le 15 février 2022 21:52

par

Gérard Letac

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire

Espérance d’une variable et théorème de transport.

Le 15 février 2022 21:54

par

Gérard Letac

Moments, fonctions génératrices, transformées de Laplace

Moments d’une variable aléatoire et série génératrice associée.

Le 15 février 2022 21:55

par

Gérard Letac

Appendice 1: Grandes déviations

Théorème des grandes déviations

Le 15 février 2022 21:57

par

Gérard Letac

Appendice 2: Convergence des lois binomiales vers la loi de Poisson

Convergence faible et en norme de mesures d’une suite de lois binomiales vers la loi de Poisson.

Le 15 février 2022 22:01

par

Gérard Letac

Lexique

Propriétés fondamentales du produit de convolution

[Proposition] :

Soient $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires réelles indépendantes de lois $P^X$ et $P^Y$.

$\bullet$La loi de $X+Y$ est $P^X*P^Y$.

$\bullet$$P^X*P^Y=P^Y*P^X$.

$\bullet$Pour toute fonction mesurable $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, \[\int_\mathbb{R}f(x).d(P^X*P^Y)(x)=\int_\mathbb{R}\left( \int_\mathbb{R}f(x+y) dP^Y(y)\right)dP^X(x).\]

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