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Les derniers exercices

Exercice

Escargots et coquilles

16 avril 2024 14:09 — Par

Michel Quercia

Soient $A_{1},A_{2},\dots,A_n$ des évènements. On veut prouver la formule du crible : \[\mathbb P (A_{1}\cup \dots\cup A_n) = \sum_i\mathbb P (A_i) - \sum_{i<j}\mathbb P (A_i\cap A_j) + \sum_{i<j<k}\mathbb P (A_i\cap A_j\cap A_k) - \dots+ (-1)^{n-1}\mathbb P (A_{1}\cap \dots\cap A_n).\]
1. Traiter les cas $n=2$ et $n=3$.
2. Pour le cas général, on note $\mathbb 1 _A$ la fonction indicatrice de l’évènement $A$. Exprimer $\mathbb 1 _{\overline{A_{1}\cup \dots\cup A_n}}$ en fonction des $\mathbb 1 _{A_i}$ et calculer son espérance.
Soit $\sigma \in S_n$. On dit que $\sigma$ est un dérangement si $\sigma (i)\neq i$ pour tout $i$. Quelle est la probabilité qu’une permutation choise au hasard soit un dérangement ?
La société Burgundy Snail Inc. reçoit chaque semaine 6000 escargots vivants. Elle les fait bouillir ensemble dans une grande marmite ce qui a pour effet (entre autres) de détacher chaque escargot de sa coquille. Les escargots bouillis flottent à la surface et les coquilles tombent au fond de la marmite. Une chaîne de traitement récupère les escargots et les assaisonne ; une autre chaîne récupère les coquilles, les nettoie et les fait briller. Puis escargots et coquilles rejoignent une troisième chaîne qui place chaque escargot dans une coquille et les emballe par boîtes de 12. On demande :
1. La probabilité que chaque escargot se retrouve dans sa coquille d’origine.
2. La probabilité qu’aucun escargot ne se retrouve dans sa coquille d’origine.
3. La probabilité que chaque boite de 12 escargots contienne exactement un escargot qui est dans sa coquille d’origine.

Exercice

Limite de probabilités

16 avril 2024 14:12 — Par

Michel Quercia

Soit $(\mathbb P _k)_{k\in \mathbb{N}}$ une suite de probabilités sur $\mathbb{N}$ (avec la tribu $\mathcal P (\mathbb{N})$). On suppose que pour tout entier $n\in \mathbb{N}$, la suite $(\mathbb P _k(\{ n\} ))$ est convergente, de limite $p_n\in {[0,1]}$.

$\,$
1. Montrer que $\sum_{n\in \mathbb{N}}p_n\leq 1$.
2. Donner un exemple où la somme est strictement plus petite que $1$.
On suppose que $\sum_{n\in \mathbb{N}}p_n=1$ et on pose pour $k,n\in \mathbb{N}$ : $a_{n,k} = \min(\mathbb P _k(\{ n\} ),p_n)$.
1. Montrer que $\sum_{n\in \mathbb{N}}a_{n,k}\to _{k\to \infty }1$ et en déduire $\sum_{n\in \mathbb{N}}|\mathbb P _k(\{ n\} )-p_n|\to _{k\to \infty }0$.
2. Pour $X\subset \mathbb{N}$, montrer que $\mathbb P _k(X)\to _{k\to \infty }\sum_{n\in X}p_n$.
3. Prouver enfin que l’application $X\mapsto \lim_{k\to \infty }(\mathbb P _k(X))$ est une probabilité sur $\mathbb{N}$.

Exercice

$\mathbb P (k\mathbb{N})=1/k$ ?

16 avril 2024 14:12 — Par

Michel Quercia

On démontre dans cet exercice qu’il n’existe par de probabilité $\mathbb P$ sur $\mathbb{N}$ vérifiant : pour tout $k\in \mathbb{N}^*$, la probabilité qu’un entier choisi au hasard selon la probabilité $\mathbb P$ soit divisible par $k$ est égale à $1/k$. Pour cela, on raisonne par l’absurde ; soit $\mathbb P$ une telle probabilité.

Montrer que si $k_{1},\dots,k_m$ sont des entiers non nuls et deux à deux premiers entre eux, alors les évènements $A_i =$ $n$ est divisible par $k_i$ sont mutuellement indépendants.
Montrer que l’évènement $A =$ $n$ n’est divisible par aucun facteur premier est de probabilité nulle.
Généraliser et conclure.

Articles

Article

Marches aléatoires

26 juin 2022 15:30 — Par

CultureMath
Emmanuel Vieillard-Baron
Victor Rabiet

Article

Avancement des corrections

10 novembre 2021 18:35 — Par

Emmanuel Vieillard-Baron

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Guide pour les auteures et auteurs

24 novembre 2020 23:03 — Par

Emmanuel Vieillard-Baron

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Partenariat avec Culturemath

24 novembre 2020 22:26 — Par

Emmanuel Vieillard-Baron

Forum

L’argument diagonal selon Wikipédia

16 avril 2024 13:54 — Par Sneg

[Soupirs. Et on recommence ? AD]
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2277624/vers-l-infini-et-au-dela

Ma réponse à la remarque de @AD se trouve ici : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2420471/#Comment_2420471

Bonjour
Sur la page Wikipédia consacrée à l’argument diagonal, au chapitre intitulé « Calculabilité », on peut lire :

« Le raisonnement diagonal donné pour les réels reste bien également constructif. Supposons qu’une suite $(r_i)$ de réels entre $0$ et $1$ nous soit donnée effectivement par des développements décimaux : on dispose d’un algorithme qui peut calculer, étant donné deux entiers $i$ et $n$, la $n$-ième décimale d’un même développement de $r_i$. Etc. »
Mais, à ce que je sache, ce texte …

Créer matrice avec Sage

16 avril 2024 13:42 — Par celine_L

Bonjour,

je crée un tableau de variables symboliques avec

X = [var('x_{:d}'.format(i), domain = RR) for i in range(1,11)]

puis un espace de matrices avec

MS = MatrixSpace(RR,2,5)

Et maintenant j'aimerais créer une matrice A avec les $x_i$. J'ai tenté cela

A = MS.matrix(X)

Mais j'ai l'erreur : cannot evaluate symbolic expression to a numeric value

Comment faire donc pour créer une matrice dont les coefficients sont mes variables $x_i$ ?

Merci

Des liens entre $\Z_3$ et $\prod_{n=1}^{+\infty}\mathbb Z/p_n\mathbb{Z}$

16 avril 2024 13:30 — Par stfj

Bonjour,

Le titre de la discussion n'est pas bon; j'espère trouver rapidement un meilleur titre.

Le produit direct $A$ des corps $\Z/p_n\Z$ pour tous les nombres premiers, $$(A,+,\times):=(\prod_{n=1}^{+\infty}\mathbb Z/p_n\mathbb{Z},+,\times)$$est un anneau qui m'intéresse beaucoup. J'ai posé à son sujet plusieurs questions qui m'apparaissaient un peu techniques, mais pour lesquelles j'ai reçu des réponses quasi-instantanées de votre part et je vous en remercie.
_________________________________________________
Je rappelle donc rapidement quelques propriétés élémentaires de cet anneau sur lesquelles je reviendrais volontiers pour les personnes intéressées.
1.- On peut y plonger $\Z$ par $$\xi:\Z\to \prod_{p}^{}\Z/p$$ $$n\mapsto (n,n,n,n,n,n,n,...)$$
Ce plongement est un morphisme d'anneaux injectif …

Application du théorème de Courant-Fisher

16 avril 2024 13:10 — Par OShine

Bonjour,

On note $\Sigma = \{ X \in \mathcal M_{n,1} (\R) \ ; \ X^T X=1 \}$.
Démontrer que si $S \in \mathcal S_n(\R)$ on a $\min Sp(S) = \min \{ X^T S X \ : \ X \in \Sigma \}$ et $\max Sp(S) = \max \{ X^T S X \ : \ X \in \Sigma \}$.
Je ne comprends pas le dernier passage du corrigé.

Le corrigé donne :
Soit $S \in S_n(\R)$.
La matrice $S$ est symétrique réelle, d'après le théorème spectral, $S$ est diagonalisable dans une base orthonormale.
Il existe donc une base de vecteurs propres $(X_1, …

Cobars et Véto et espace projectif réel

16 avril 2024 12:07 — Par stfj

Bonjour,

Je connais le plongement d'un plan affine $P$ dans un espace vectoriel $\widehat{P}$(j'ai appris cela au début de Géométrie pour l'élève professeur de Frenkel.)

Soit $O$ l'origine de $\widehat{P}$. Soit $N\in \widehat{P}$

$(\vec {OA},\vec{OB},\vec{OC})$ ie $(A,B,C)$ forment une base de l'espace vectoriel réel à $3$ dimensions $\widehat{P}$. Donc $$\exists !(\alpha',\beta',\gamma')\in \mathbb R^3\text{ tel que }N=\alpha' A+\beta' B+\gamma' C$$

Les barycentres de $A,B,C$ affectés de coefficients correspondent aux $M\in P$ tels que $$\alpha'+\beta'+\gamma'=1$$
________________________________________________
**Recherche:** Je recherche des exemples simples et parlants pour (me) montrer l'intérêt des coordonnées barycentriques
___________________________________
Pour montrer ce que cela m'évoque pour l'instant,

Exemple 1: …

Image d’une probabilité, variables aléatoires

Définition des variables aléatoires et de leur loi.

Le 15 février 2022 21:52

par

Gérard Letac

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire

Espérance d’une variable et théorème de transport.

Le 15 février 2022 21:54

par

Gérard Letac

Moments, fonctions génératrices, transformées de Laplace

Moments d’une variable aléatoire et série génératrice associée.

Le 15 février 2022 21:55

par

Gérard Letac

Appendice 1: Grandes déviations

Théorème des grandes déviations

Le 15 février 2022 21:57

par

Gérard Letac

Appendice 2: Convergence des lois binomiales vers la loi de Poisson

Convergence faible et en norme de mesures d’une suite de lois binomiales vers la loi de Poisson.

Le 15 février 2022 22:01

par

Gérard Letac

Lexique

Caractérisation de la fonction exponentielle par l’équation fonctionnelle $f(s+t)=f(s)f(t)$

[Proposition] :

Soit $f$ une fonction dérivable de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}$ vérifiant l’équation $\forall (s,t) \in \mathbb{R}^2, ~~ f(s+t)=f(s)f(t)$. Si il existe $c \in \mathbb{R}$ tel que $f(c)=0$ alors $f$ est la fonction nulle sur $\mathbb{R}$. Sinon $f(0)=1$ et il existe $a\in \mathbb{C}$ tel que $f'=a f$, c’est-à-dire tel que $f=f_a$.

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