Accueil

Soient \(A_{1},A_{2},\dots,A_n\) des évènements. On veut prouver la formule du crible : \[\mathbb P (A_{1}\cup \dots\cup A_n) = \sum_i\mathbb P (A_i) - \sum_{i<j}\mathbb P (A_i\cap A_j) + \sum_{i<j<k}\mathbb P (A_i\cap A_j\cap A_k) - \dots+ (-1)^{n-1}\mathbb P (A_{1}\cap \dots\cap A_n).\]

Soit \(\sigma \in S_n\). On dit que \(\sigma\) est un dérangement si \(\sigma (i)\neq i\) pour tout \(i\). Quelle est la probabilité qu’une permutation choise au hasard soit un dérangement ?

La société Burgundy Snail Inc. reçoit chaque semaine 6000 escargots vivants. Elle les fait bouillir ensemble dans une grande marmite ce qui a pour effet (entre autres) de détacher chaque escargot de sa coquille. Les escargots bouillis flottent à la surface et les coquilles tombent au fond de la marmite. Une chaîne de traitement récupère les escargots et les assaisonne ; une autre chaîne récupère les coquilles, les nettoie et les fait briller. Puis escargots et coquilles rejoignent une troisième chaîne qui place chaque escargot dans une coquille et les emballe par boîtes de 12. On demande :

On suppose que \(\sum_{n\in \mathbb{N}}p_n=1\) et on pose pour \(k,n\in \mathbb{N}\) : \(a_{n,k} = \min(\mathbb P _k(\{ n\} ),p_n)\).

Montrer que si \(k_{1},\dots,k_m\) sont des entiers non nuls et deux à deux premiers entre eux, alors les évènements \(A_i =\)  \(n\) est divisible par \(k_i\) sont mutuellement indépendants.

Montrer que l’évènement \(A =\)  \(n\) n’est divisible par aucun facteur premier est de probabilité nulle.

Généraliser et conclure.