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Exercice

Escargots et coquilles

16 avril 2024 14:09 — Par

Michel Quercia

Soient $A_{1},A_{2},\dots,A_n$ des évènements. On veut prouver la formule du crible : \[\mathbb P (A_{1}\cup \dots\cup A_n) = \sum_i\mathbb P (A_i) - \sum_{i<j}\mathbb P (A_i\cap A_j) + \sum_{i<j<k}\mathbb P (A_i\cap A_j\cap A_k) - \dots+ (-1)^{n-1}\mathbb P (A_{1}\cap \dots\cap A_n).\]
1. Traiter les cas $n=2$ et $n=3$.
2. Pour le cas général, on note $\mathbb 1 _A$ la fonction indicatrice de l’évènement $A$. Exprimer $\mathbb 1 _{\overline{A_{1}\cup \dots\cup A_n}}$ en fonction des $\mathbb 1 _{A_i}$ et calculer son espérance.
Soit $\sigma \in S_n$. On dit que $\sigma$ est un dérangement si $\sigma (i)\neq i$ pour tout $i$. Quelle est la probabilité qu’une permutation choise au hasard soit un dérangement ?
La société Burgundy Snail Inc. reçoit chaque semaine 6000 escargots vivants. Elle les fait bouillir ensemble dans une grande marmite ce qui a pour effet (entre autres) de détacher chaque escargot de sa coquille. Les escargots bouillis flottent à la surface et les coquilles tombent au fond de la marmite. Une chaîne de traitement récupère les escargots et les assaisonne ; une autre chaîne récupère les coquilles, les nettoie et les fait briller. Puis escargots et coquilles rejoignent une troisième chaîne qui place chaque escargot dans une coquille et les emballe par boîtes de 12. On demande :
1. La probabilité que chaque escargot se retrouve dans sa coquille d’origine.
2. La probabilité qu’aucun escargot ne se retrouve dans sa coquille d’origine.
3. La probabilité que chaque boite de 12 escargots contienne exactement un escargot qui est dans sa coquille d’origine.

Exercice

Limite de probabilités

16 avril 2024 14:12 — Par

Michel Quercia

Soit $(\mathbb P _k)_{k\in \mathbb{N}}$ une suite de probabilités sur $\mathbb{N}$ (avec la tribu $\mathcal P (\mathbb{N})$). On suppose que pour tout entier $n\in \mathbb{N}$, la suite $(\mathbb P _k(\{ n\} ))$ est convergente, de limite $p_n\in {[0,1]}$.

$\,$
1. Montrer que $\sum_{n\in \mathbb{N}}p_n\leq 1$.
2. Donner un exemple où la somme est strictement plus petite que $1$.
On suppose que $\sum_{n\in \mathbb{N}}p_n=1$ et on pose pour $k,n\in \mathbb{N}$ : $a_{n,k} = \min(\mathbb P _k(\{ n\} ),p_n)$.
1. Montrer que $\sum_{n\in \mathbb{N}}a_{n,k}\to _{k\to \infty }1$ et en déduire $\sum_{n\in \mathbb{N}}|\mathbb P _k(\{ n\} )-p_n|\to _{k\to \infty }0$.
2. Pour $X\subset \mathbb{N}$, montrer que $\mathbb P _k(X)\to _{k\to \infty }\sum_{n\in X}p_n$.
3. Prouver enfin que l’application $X\mapsto \lim_{k\to \infty }(\mathbb P _k(X))$ est une probabilité sur $\mathbb{N}$.

Exercice

$\mathbb P (k\mathbb{N})=1/k$ ?

16 avril 2024 14:12 — Par

Michel Quercia

On démontre dans cet exercice qu’il n’existe par de probabilité $\mathbb P$ sur $\mathbb{N}$ vérifiant : pour tout $k\in \mathbb{N}^*$, la probabilité qu’un entier choisi au hasard selon la probabilité $\mathbb P$ soit divisible par $k$ est égale à $1/k$. Pour cela, on raisonne par l’absurde ; soit $\mathbb P$ une telle probabilité.

Montrer que si $k_{1},\dots,k_m$ sont des entiers non nuls et deux à deux premiers entre eux, alors les évènements $A_i =$ $n$ est divisible par $k_i$ sont mutuellement indépendants.
Montrer que l’évènement $A =$ $n$ n’est divisible par aucun facteur premier est de probabilité nulle.
Généraliser et conclure.

Articles

Article

Marches aléatoires

26 juin 2022 15:30 — Par

CultureMath
Emmanuel Vieillard-Baron
Victor Rabiet

Article

Avancement des corrections

10 novembre 2021 18:35 — Par

Emmanuel Vieillard-Baron

Article

Guide pour les auteures et auteurs

24 novembre 2020 23:03 — Par

Emmanuel Vieillard-Baron

Article

Partenariat avec Culturemath

24 novembre 2020 22:26 — Par

Emmanuel Vieillard-Baron

Forum

Trigonométrie

24 avril 2024 08:26 — Par OShine

Bonsoir,

La proposition est $\forall x \in \R \ | \sin x| \leq |x|$.
Je ne comprends pas bien qui est x ici.
Un angle, ou la longueur d'un arc de cercle ?
De plus $x$ est fixé dans $[0,1]$ je ne comprends pas bien pourquoi on peut choisir l'angle ou l'arc de cercle que l'on veut.

Je ne comprends pas trop comment fonctionne cette démonstration.

Calcul de volume

24 avril 2024 08:22 — Par Piteux_gore

Bonjour,
Montrer que le volume limité par le trièdre $Oxyz$ et la surface $\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z = \sqrt a$ a pour valeur $a^3/90$.
Je dispose d'une solution basée sur des intégrales simples, mais il doit y avoir d'autres méthodes à base d'intégrales multiples.
A tantôt...

Un alignement

24 avril 2024 08:09 — Par Jean-Louis Ayme

Bonjour,

1. 0 un cercle,

2. P un point extérieur à 0,

3. Pp une sécante à 0 issue de P,

4. X, Y les points d'intersection de Pp avec 0,

5. 2, 3 les cercles circonscrits aux triangles OPX, OPY,

6. X', Y' les seconds points d'intersection de 2, 3 avec 0.

Question : P, X' et Y' sont alignés.

Sincèrement

Jean-Louis

Il n’y a pas qu’en maths qu’il y a effondrement…

24 avril 2024 08:05 — Par etanche

Bonjour

Un prof de prépas lettre classique khâgne à LLG parle de l’effondrement scolaire.

https://www.youtube.com/watch?v=nRaOwEdIvcE

Que faire ? Comment agir pour remonter le niveau de nos élèves ?

Enseigner la géométrie en 2024: quelle place pour la géométrie projective ?

24 avril 2024 07:57 — Par stfj

Bonjour,

Le titre de cette discussion que je propose fait allusion à une autre, à laquelle plusieurs d'entre vous m'avaient fait l'honneur de participer.
Grâce à cette discussion respectant plus ou moins les règles de la dialectique, mes pratiques d'enseignant de collège ont évolué(je me suis enfin beaucoup intéressé aux cas de similarités des triangles). Mais d'autres idées qu'on a bien voulu me soumettre ont fini par germer, comme des herbes un peu folles peut-être au départ.
En particulier, l'utilisation de techniques efficientes inspirées de la géométrie projective. La géométrie projective, même si je la connais mal, m'intéresse. Le …

Image d’une probabilité, variables aléatoires

Définition des variables aléatoires et de leur loi.

Le 15 février 2022 21:52

par

Gérard Letac

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire

Espérance d’une variable et théorème de transport.

Le 15 février 2022 21:54

par

Gérard Letac

Moments, fonctions génératrices, transformées de Laplace

Moments d’une variable aléatoire et série génératrice associée.

Le 15 février 2022 21:55

par

Gérard Letac

Appendice 1: Grandes déviations

Théorème des grandes déviations

Le 15 février 2022 21:57

par

Gérard Letac

Appendice 2: Convergence des lois binomiales vers la loi de Poisson

Convergence faible et en norme de mesures d’une suite de lois binomiales vers la loi de Poisson.

Le 15 février 2022 22:01

par

Gérard Letac

Lexique

Limite d’un produit

[Théorème] :

Soient $f, g : I \mapsto \mathbb{R}$ et $a \in \overline{I}$. On suppose que $f(x) \xrightarrow[x \rightarrow a]{} l_1$, $g(x) \xrightarrow[x \rightarrow a]{} l_2$. Alors $(fg)(x) \xrightarrow[x \rightarrow a]{} l_1l_2$.

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