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Les derniers exercices

Exercice

Escargots et coquilles

16 avril 2024 14:09 — Par

Michel Quercia

Soient $A_{1},A_{2},\dots,A_n$ des évènements. On veut prouver la formule du crible : \[\mathbb P (A_{1}\cup \dots\cup A_n) = \sum_i\mathbb P (A_i) - \sum_{i<j}\mathbb P (A_i\cap A_j) + \sum_{i<j<k}\mathbb P (A_i\cap A_j\cap A_k) - \dots+ (-1)^{n-1}\mathbb P (A_{1}\cap \dots\cap A_n).\]
1. Traiter les cas $n=2$ et $n=3$.
2. Pour le cas général, on note $\mathbb 1 _A$ la fonction indicatrice de l’évènement $A$. Exprimer $\mathbb 1 _{\overline{A_{1}\cup \dots\cup A_n}}$ en fonction des $\mathbb 1 _{A_i}$ et calculer son espérance.
Soit $\sigma \in S_n$. On dit que $\sigma$ est un dérangement si $\sigma (i)\neq i$ pour tout $i$. Quelle est la probabilité qu’une permutation choise au hasard soit un dérangement ?
La société Burgundy Snail Inc. reçoit chaque semaine 6000 escargots vivants. Elle les fait bouillir ensemble dans une grande marmite ce qui a pour effet (entre autres) de détacher chaque escargot de sa coquille. Les escargots bouillis flottent à la surface et les coquilles tombent au fond de la marmite. Une chaîne de traitement récupère les escargots et les assaisonne ; une autre chaîne récupère les coquilles, les nettoie et les fait briller. Puis escargots et coquilles rejoignent une troisième chaîne qui place chaque escargot dans une coquille et les emballe par boîtes de 12. On demande :
1. La probabilité que chaque escargot se retrouve dans sa coquille d’origine.
2. La probabilité qu’aucun escargot ne se retrouve dans sa coquille d’origine.
3. La probabilité que chaque boite de 12 escargots contienne exactement un escargot qui est dans sa coquille d’origine.

Exercice

Limite de probabilités

16 avril 2024 14:12 — Par

Michel Quercia

Soit $(\mathbb P _k)_{k\in \mathbb{N}}$ une suite de probabilités sur $\mathbb{N}$ (avec la tribu $\mathcal P (\mathbb{N})$). On suppose que pour tout entier $n\in \mathbb{N}$, la suite $(\mathbb P _k(\{ n\} ))$ est convergente, de limite $p_n\in {[0,1]}$.

$\,$
1. Montrer que $\sum_{n\in \mathbb{N}}p_n\leq 1$.
2. Donner un exemple où la somme est strictement plus petite que $1$.
On suppose que $\sum_{n\in \mathbb{N}}p_n=1$ et on pose pour $k,n\in \mathbb{N}$ : $a_{n,k} = \min(\mathbb P _k(\{ n\} ),p_n)$.
1. Montrer que $\sum_{n\in \mathbb{N}}a_{n,k}\to _{k\to \infty }1$ et en déduire $\sum_{n\in \mathbb{N}}|\mathbb P _k(\{ n\} )-p_n|\to _{k\to \infty }0$.
2. Pour $X\subset \mathbb{N}$, montrer que $\mathbb P _k(X)\to _{k\to \infty }\sum_{n\in X}p_n$.
3. Prouver enfin que l’application $X\mapsto \lim_{k\to \infty }(\mathbb P _k(X))$ est une probabilité sur $\mathbb{N}$.

Exercice

$\mathbb P (k\mathbb{N})=1/k$ ?

16 avril 2024 14:12 — Par

Michel Quercia

On démontre dans cet exercice qu’il n’existe par de probabilité $\mathbb P$ sur $\mathbb{N}$ vérifiant : pour tout $k\in \mathbb{N}^*$, la probabilité qu’un entier choisi au hasard selon la probabilité $\mathbb P$ soit divisible par $k$ est égale à $1/k$. Pour cela, on raisonne par l’absurde ; soit $\mathbb P$ une telle probabilité.

Montrer que si $k_{1},\dots,k_m$ sont des entiers non nuls et deux à deux premiers entre eux, alors les évènements $A_i =$ $n$ est divisible par $k_i$ sont mutuellement indépendants.
Montrer que l’évènement $A =$ $n$ n’est divisible par aucun facteur premier est de probabilité nulle.
Généraliser et conclure.

Articles

Article

Marches aléatoires

26 juin 2022 15:30 — Par

CultureMath
Emmanuel Vieillard-Baron
Victor Rabiet

Article

Avancement des corrections

10 novembre 2021 18:35 — Par

Emmanuel Vieillard-Baron

Article

Guide pour les auteures et auteurs

24 novembre 2020 23:03 — Par

Emmanuel Vieillard-Baron

Article

Partenariat avec Culturemath

24 novembre 2020 22:26 — Par

Emmanuel Vieillard-Baron

Forum

Vocabulaire sur les groupes (extension / suite exacte)

20 avril 2024 02:25 — Par topopot

Salut,

Question pas très profonde car il s'agit de vocabulaire mais je la pose quand même.

Lorsqu'on dispose d'une suite exacte courte de groupes ($G$, $H$ et $K$ sont des groupes donnés) de la forme :
$$1\longrightarrow H \overset {i}{\longrightarrow} G \overset {p}{\longrightarrow} K \longrightarrow 1$$
on dit selon les ouvrages que :

(i) $G$ est une extension de $K$ par $H$ ;
(ii) $G$ est une extension de $H$ par $K$.

Je sais que ça ne change rien, il suffit de savoir de quoi l'on parle, mais est-ce qu'il y a une raison d'"inverser" par rapport au sens …

Concours 2024 ENS, X, Centrale-Supelec, Mines-Ponts

20 avril 2024 00:52 — Par etanche

Bon courage aux élèves de CPGE pour les écrits qui commencent demain.

https://www.scei-concours.fr/calendrier.php

Récurrence

20 avril 2024 00:42 — Par Amadou

Bonjour, bonsoir ! Je comprends bien le principe de raisonnement par récurrence qu'on nous a enseigné au lycée. Mais parfois, j'entends parler de récurrence d'ordre $k$, récurrence forte. J'ai lu à ce sujet, mais je ne comprends pas vraiment en quoi cela diffère de la récurrence dont on nous a enseigné au lycée. Pourriez-vous m'expliquer simplement, si possible avec des exemples simple à l'appui, ces deux concepts afin que je puisse mieux les comprendre ?

Merci d'avance !

Conseil pour choisir un domaine d'orientation

19 avril 2024 23:46 — Par Amadou

Bonjour ! J'ai besoin d'aide (conseil) pour choisir un domaine d'orientation en maths. Je me demande quel est le domaine le plus étudié en maths parmi l'algèbre, l'analyse, l'arithmétique, la probabilité et la géométrie.
1. Quelle branche me permettra d'avoir une connaissance large des maths ?
2. Quelle branche me permettra d'avoir une connaissance «plus» approfondie des maths ?
3. Quelle branche est considérée comme étant la plus difficile ?
4. Comment est-ce qu'on peut savoir si on est doué dans une des branches ?
5. Est-il possible de «tout» comprendre en maths en se concentrant sur un seul domaine …

De la belle géométrie

19 avril 2024 23:42 — Par jelobreuil

Bonsoir à tous

Ce problème a été proposé avant-hier sur le site "Art of Problem Solving", et il me semble qu'il devrait plaire à certaine et certains ...

Soit un triangle $ABC$, et le centre $I$ de son cercle inscrit. Le cercle de centre $I$ et de rayon $IA$ recoupe en $A'$ le cercle circonscrit, et coupe en $A'_1$ et $A'_2$ la médiatrice de $BC$, et les droites $A'A'_1$ et $A'A'_2$ recoupent le cercle circonscrit, respectivement, en $A_1$ et $A_2$. On construit de la même manière, en permutation circulaire, les deux paires de points $B_1$, $B_2$ et $C_1$, $C_2$.

Montrer …

Image d’une probabilité, variables aléatoires

Définition des variables aléatoires et de leur loi.

Le 15 février 2022 21:52

par

Gérard Letac

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire

Espérance d’une variable et théorème de transport.

Le 15 février 2022 21:54

par

Gérard Letac

Moments, fonctions génératrices, transformées de Laplace

Moments d’une variable aléatoire et série génératrice associée.

Le 15 février 2022 21:55

par

Gérard Letac

Appendice 1: Grandes déviations

Théorème des grandes déviations

Le 15 février 2022 21:57

par

Gérard Letac

Appendice 2: Convergence des lois binomiales vers la loi de Poisson

Convergence faible et en norme de mesures d’une suite de lois binomiales vers la loi de Poisson.

Le 15 février 2022 22:01

par

Gérard Letac

Lexique

Définition de la distance de Hausdorff

[Définition] :

On définit tout d’abord: \[V_\epsilon(A)=\{ x ; d(x,A)<\epsilon\}\] $V_\epsilon(A)$ est appelé $\epsilon$-voisinage ouvert de $A$. Il est ouvert par la proposition [continuitedistance].

Ensuite on note $D(A,B)$ et on appelle distance de Hausdorff le réel \[D(A,B)=\inf\{x \in \mathbb{R}^{+} ; A \subset V_x(B) \land B \subset V_x(A)\}\] défini sur l’ensemble $K(E)$ des compacts non vides d’un espace métrique $E$ donné.

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