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Intégrale de Dirichlet, intégrabilité, Fubini

28 mars 2024 11:35 — Par un_kiwi

Bonjour
Je cherche à calculer l'intégrale de Dirichlet $\quad\displaystyle \mathcal{D}:=\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)} t \ dt $.
Pour cela, j'utilise le fait que $\displaystyle \frac 1 t = \int_0^{+\infty} e^{-tx}\ d x$ et ainsi j'obtiens que
$$ \mathcal{D} = \int_0^{+\infty} \bigg( \int_0^{+\infty} \sin(t)  e^{-tx}\ d x \bigg) \ dt.$$
En intervertissant les intégrales, je trouve bien que $\mathcal{D}= \pi / 2$, seulement pour pouvoir intervertir les intégrales, je dois justifier que la fonction $(t,x) \mapsto \sin(t) e^{-tx}$ est intégrable sur $({\bf R}^*_+)^2$, ce que je ne n'arrive pas à faire...
Cordialement.

Changement de variable obscur

28 mars 2024 11:35 — Par UItraviolet

Bonjour à tous, voici un exercice sur lequel je bloque, une étape n'est pas très développée et je ne vois pas comment y parvenir : 




Mais voilà, lors de la majoration de $u_n$, on passe d'une intégrale sur $[0,\pi]$ à $[0,\frac{\pi}{2}]$, j'ai essayé d'y parvenir en faisant le changement de variable $t=x- \frac{\pi }{2}$ pour centrer l'intervalle en $0$ et ensuite utiliser la parité pour faire apparaître le facteur $2$. Mais sauf incompétence de ma part, (ce qui est plus que probable) ce changement de variable change le $sin^{2}(t)$ en $cos^{2}(x)$, je ne vois pas comment on retombe sur sur $sin^{2}$ …

Inégalité suites

28 mars 2024 11:25 — Par math65

Bonjour
J'ai un QCM sur lequel je m'entraîne. je n’arrive pas à voir quelles réponses ci-dessous peuvent être bonnes.
J'ai déjà vu que B est fausse avec un essai $n=2$ et $p=2$ mais pour les autres, un contre-exemple ne suffit pas.
Merci.

Inégalité triangulaire et $|x|+|y|=1$

28 mars 2024 11:15 — Par Amadou

Bonjour ici, j'espère que ça va ! Merci à @Dom d'avoir eu l'idée de proposer ce sous-forum et merci à @Vassillia  d'avoir créé une fil de discussion à ce sujet, et merci aux modérateurs d'avoir créé ce sous-forum après concertation.

L'un des plus beaux cadeaux qui m'ai été offert c'est d'être tombé dans un tel forum de groupe de matheux, surtout avec des personnes qui ont une maîtrise parfaite du domaine et qui ont appris les maths à des époques différents de la nôtre, quand (chez nous les programmes et les explications sont plus légers). Je suis sûr que tous …

Déclin des maths, déclin littéraire : que faire ?

28 mars 2024 11:10 — Par amimarc

Bonjour à tous
Nous sommes deux amis doctorants : un matheux, un littéraire.
Chacun de nous s'est cassé les dents dans la discipline de l'autre.

Nous y avons connu :
- trop de profs brouillons ou impatients face à un public non-initié ;
- trop de repères cognitifs et méthodologiques laissés dans l'implicite ;
- une terminologie verbeuse et opaque.

Sur ce dernier point :
- nous devons expliciter nos prérequis et conventions d'écriture dans nos thèses ;
- nous déplorons que, vis-à-vis de nous, trop d'enseignants se soient jadis dispensés de ce travail.

Cette dispense, selon mon ami matheux, …

Lexique

Suite croissante

[Définition] :
On dit qu’une suite réelle \(\left(u_n\right)\) est
  • croissante si et seulement si : \[\forall n\in\mathbb{N}, \quad u_n \leqslant u_{n+1}\]

  • décroissante si et seulement si : \[\forall n\in\mathbb{N}, \quad u_{n+1} \leqslant u_n\]

  • monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante.

On dit que \(\left(u_n\right)\) est strictement croissante , strictement décroissante ou strictement monotone si et seulement si l’inégalité correspondante est stricte.

Guide pour les auteures et auteurs de
Les-Mathematiques.net

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