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Les derniers exercices

Exercice

Escargots et coquilles

16 avril 2024 14:09 — Par

Michel Quercia

Soient $A_{1},A_{2},\dots,A_n$ des évènements. On veut prouver la formule du crible : \[\mathbb P (A_{1}\cup \dots\cup A_n) = \sum_i\mathbb P (A_i) - \sum_{i<j}\mathbb P (A_i\cap A_j) + \sum_{i<j<k}\mathbb P (A_i\cap A_j\cap A_k) - \dots+ (-1)^{n-1}\mathbb P (A_{1}\cap \dots\cap A_n).\]
1. Traiter les cas $n=2$ et $n=3$.
2. Pour le cas général, on note $\mathbb 1 _A$ la fonction indicatrice de l’évènement $A$. Exprimer $\mathbb 1 _{\overline{A_{1}\cup \dots\cup A_n}}$ en fonction des $\mathbb 1 _{A_i}$ et calculer son espérance.
Soit $\sigma \in S_n$. On dit que $\sigma$ est un dérangement si $\sigma (i)\neq i$ pour tout $i$. Quelle est la probabilité qu’une permutation choise au hasard soit un dérangement ?
La société Burgundy Snail Inc. reçoit chaque semaine 6000 escargots vivants. Elle les fait bouillir ensemble dans une grande marmite ce qui a pour effet (entre autres) de détacher chaque escargot de sa coquille. Les escargots bouillis flottent à la surface et les coquilles tombent au fond de la marmite. Une chaîne de traitement récupère les escargots et les assaisonne ; une autre chaîne récupère les coquilles, les nettoie et les fait briller. Puis escargots et coquilles rejoignent une troisième chaîne qui place chaque escargot dans une coquille et les emballe par boîtes de 12. On demande :
1. La probabilité que chaque escargot se retrouve dans sa coquille d’origine.
2. La probabilité qu’aucun escargot ne se retrouve dans sa coquille d’origine.
3. La probabilité que chaque boite de 12 escargots contienne exactement un escargot qui est dans sa coquille d’origine.

Exercice

Limite de probabilités

16 avril 2024 14:12 — Par

Michel Quercia

Soit $(\mathbb P _k)_{k\in \mathbb{N}}$ une suite de probabilités sur $\mathbb{N}$ (avec la tribu $\mathcal P (\mathbb{N})$). On suppose que pour tout entier $n\in \mathbb{N}$, la suite $(\mathbb P _k(\{ n\} ))$ est convergente, de limite $p_n\in {[0,1]}$.

$\,$
1. Montrer que $\sum_{n\in \mathbb{N}}p_n\leq 1$.
2. Donner un exemple où la somme est strictement plus petite que $1$.
On suppose que $\sum_{n\in \mathbb{N}}p_n=1$ et on pose pour $k,n\in \mathbb{N}$ : $a_{n,k} = \min(\mathbb P _k(\{ n\} ),p_n)$.
1. Montrer que $\sum_{n\in \mathbb{N}}a_{n,k}\to _{k\to \infty }1$ et en déduire $\sum_{n\in \mathbb{N}}|\mathbb P _k(\{ n\} )-p_n|\to _{k\to \infty }0$.
2. Pour $X\subset \mathbb{N}$, montrer que $\mathbb P _k(X)\to _{k\to \infty }\sum_{n\in X}p_n$.
3. Prouver enfin que l’application $X\mapsto \lim_{k\to \infty }(\mathbb P _k(X))$ est une probabilité sur $\mathbb{N}$.

Exercice

$\mathbb P (k\mathbb{N})=1/k$ ?

16 avril 2024 14:12 — Par

Michel Quercia

On démontre dans cet exercice qu’il n’existe par de probabilité $\mathbb P$ sur $\mathbb{N}$ vérifiant : pour tout $k\in \mathbb{N}^*$, la probabilité qu’un entier choisi au hasard selon la probabilité $\mathbb P$ soit divisible par $k$ est égale à $1/k$. Pour cela, on raisonne par l’absurde ; soit $\mathbb P$ une telle probabilité.

Montrer que si $k_{1},\dots,k_m$ sont des entiers non nuls et deux à deux premiers entre eux, alors les évènements $A_i =$ $n$ est divisible par $k_i$ sont mutuellement indépendants.
Montrer que l’évènement $A =$ $n$ n’est divisible par aucun facteur premier est de probabilité nulle.
Généraliser et conclure.

Articles

Article

Marches aléatoires

26 juin 2022 15:30 — Par

CultureMath
Emmanuel Vieillard-Baron
Victor Rabiet

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Avancement des corrections

10 novembre 2021 18:35 — Par

Emmanuel Vieillard-Baron

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Guide pour les auteures et auteurs

24 novembre 2020 23:03 — Par

Emmanuel Vieillard-Baron

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Partenariat avec Culturemath

24 novembre 2020 22:26 — Par

Emmanuel Vieillard-Baron

Forum

Valeurs des cosinus et sinus

25 avril 2024 12:54 — Par OShine

Bonjour,

Dans les 3 cas, je ne comprends pas comment on trouve la nature du triangle.

Capes de mathématiques 2024 : une épreuve écrite de « niveau lycée » ?

25 avril 2024 12:39 — Par Fin de partie

https://www.lepoint.fr/education/capes-de-mathematiques-2024-une-epreuve-ecrite-de-niveau-lycee-19-04-2024-2558094_3584.php

Ai-je besoin de préciser le contenu de cet article?

Je ne crois pas (après recherche) que cet article a déjà été partagé sur le forum. Le cas contraire, mes excuses à la modération.

Un milieu

25 avril 2024 12:38 — Par Jean-Louis Ayme

Bonjour,
un petit problème personnel...

1. ABCD un parallélogramme,

2. E un point extérieur à ABCD sur (DB),

3. F le point de (AC) tel que (EF) soit parallèle à (BC),

4. P le point de (EF) tel que (AP) soit parallèle à (DF)

5. X le point d'intersection de (AB) et (EF).

Question : X est le milieu de [PE].

Sincèrement

Jean-Louis

Un équivalent

25 avril 2024 12:18 — Par bisam

Bonjour,

On définit une suite $u$ par $u_0=a\in\left]0,1\right[$ et $\forall n\in\N, u_{n+1}=u_n + u_n^2 \ln(u_n)$.

Auriez-vous une idée pour trouver un équivalent de $u_n$ ?

Je sais en trouver à l'aide d'une réciproque d'une fonction définie par une intégrale... mais ça n'aide pas beaucoup.

Le mieux que j'aie obtenu (et encore, en bidouillant), c'est $u_n=o(\frac 1n)$. Pouvez-vous dire mieux ? (et pas à la manière de Pierre Dac répondant à Francis Blanche, svp.)

L'enseignement des maths aux Pays-Bas

25 avril 2024 12:12 — Par kioups

Bonjour,

j'ai la chance de passer une semaine aux Pays-Bas et de découvrir le système scolaire néerlandais et particulièrement l'enseignement des maths. Les néerlandais sont 7ème en maths au dernier classement PISA (bien loin devant nous, mais bien derrière en compréhension de l'écrit et équivalents en sciences).

Le mot principal que j'ai retenu de mon séjour, c'est l'autonomie. Quasiment tous les élèves et les enseignants viennent en vélo au lycée (quel respect des automobilistes... ça change de la France où on risque sa vie à chaque fois qu'on prend son vélo), les établissements sont très autonomes et les élèves aussi. …