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Exercice

Escargots et coquilles

16 avril 2024 14:09 — Par

Michel Quercia

Soient $A_{1},A_{2},\dots,A_n$ des évènements. On veut prouver la formule du crible : \[\mathbb P (A_{1}\cup \dots\cup A_n) = \sum_i\mathbb P (A_i) - \sum_{i<j}\mathbb P (A_i\cap A_j) + \sum_{i<j<k}\mathbb P (A_i\cap A_j\cap A_k) - \dots+ (-1)^{n-1}\mathbb P (A_{1}\cap \dots\cap A_n).\]
1. Traiter les cas $n=2$ et $n=3$.
2. Pour le cas général, on note $\mathbb 1 _A$ la fonction indicatrice de l’évènement $A$. Exprimer $\mathbb 1 _{\overline{A_{1}\cup \dots\cup A_n}}$ en fonction des $\mathbb 1 _{A_i}$ et calculer son espérance.
Soit $\sigma \in S_n$. On dit que $\sigma$ est un dérangement si $\sigma (i)\neq i$ pour tout $i$. Quelle est la probabilité qu’une permutation choise au hasard soit un dérangement ?
La société Burgundy Snail Inc. reçoit chaque semaine 6000 escargots vivants. Elle les fait bouillir ensemble dans une grande marmite ce qui a pour effet (entre autres) de détacher chaque escargot de sa coquille. Les escargots bouillis flottent à la surface et les coquilles tombent au fond de la marmite. Une chaîne de traitement récupère les escargots et les assaisonne ; une autre chaîne récupère les coquilles, les nettoie et les fait briller. Puis escargots et coquilles rejoignent une troisième chaîne qui place chaque escargot dans une coquille et les emballe par boîtes de 12. On demande :
1. La probabilité que chaque escargot se retrouve dans sa coquille d’origine.
2. La probabilité qu’aucun escargot ne se retrouve dans sa coquille d’origine.
3. La probabilité que chaque boite de 12 escargots contienne exactement un escargot qui est dans sa coquille d’origine.

Exercice

Limite de probabilités

16 avril 2024 14:12 — Par

Michel Quercia

Soit $(\mathbb P _k)_{k\in \mathbb{N}}$ une suite de probabilités sur $\mathbb{N}$ (avec la tribu $\mathcal P (\mathbb{N})$). On suppose que pour tout entier $n\in \mathbb{N}$, la suite $(\mathbb P _k(\{ n\} ))$ est convergente, de limite $p_n\in {[0,1]}$.

$\,$
1. Montrer que $\sum_{n\in \mathbb{N}}p_n\leq 1$.
2. Donner un exemple où la somme est strictement plus petite que $1$.
On suppose que $\sum_{n\in \mathbb{N}}p_n=1$ et on pose pour $k,n\in \mathbb{N}$ : $a_{n,k} = \min(\mathbb P _k(\{ n\} ),p_n)$.
1. Montrer que $\sum_{n\in \mathbb{N}}a_{n,k}\to _{k\to \infty }1$ et en déduire $\sum_{n\in \mathbb{N}}|\mathbb P _k(\{ n\} )-p_n|\to _{k\to \infty }0$.
2. Pour $X\subset \mathbb{N}$, montrer que $\mathbb P _k(X)\to _{k\to \infty }\sum_{n\in X}p_n$.
3. Prouver enfin que l’application $X\mapsto \lim_{k\to \infty }(\mathbb P _k(X))$ est une probabilité sur $\mathbb{N}$.

Exercice

$\mathbb P (k\mathbb{N})=1/k$ ?

16 avril 2024 14:12 — Par

Michel Quercia

On démontre dans cet exercice qu’il n’existe par de probabilité $\mathbb P$ sur $\mathbb{N}$ vérifiant : pour tout $k\in \mathbb{N}^*$, la probabilité qu’un entier choisi au hasard selon la probabilité $\mathbb P$ soit divisible par $k$ est égale à $1/k$. Pour cela, on raisonne par l’absurde ; soit $\mathbb P$ une telle probabilité.

Montrer que si $k_{1},\dots,k_m$ sont des entiers non nuls et deux à deux premiers entre eux, alors les évènements $A_i =$ $n$ est divisible par $k_i$ sont mutuellement indépendants.
Montrer que l’évènement $A =$ $n$ n’est divisible par aucun facteur premier est de probabilité nulle.
Généraliser et conclure.

Articles

Article

Marches aléatoires

26 juin 2022 15:30 — Par

CultureMath
Emmanuel Vieillard-Baron
Victor Rabiet

Article

Avancement des corrections

10 novembre 2021 18:35 — Par

Emmanuel Vieillard-Baron

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Guide pour les auteures et auteurs

24 novembre 2020 23:03 — Par

Emmanuel Vieillard-Baron

Article

Partenariat avec Culturemath

24 novembre 2020 22:26 — Par

Emmanuel Vieillard-Baron

Forum

Retour oraux agreg interne 2024

19 avril 2024 20:12 — Par m.c1

Bonjour à tous
Serait-il possible sur ce fil de mettre des retours d'oraux, que vous soyez candidats ou auditeurs libres,
du type :

Fonctionnement
Utilisation des tableaux, etc...

Oraux
Couplage
Développement choisi
Questions
Ressentis, etc..

Exercices
Bon courage à tous ceux qui passent les oraux ces jours ci.

Une égalité mystérieuse

19 avril 2024 20:11 — Par stfj

Bonjour,

Soit $p_1=2,p_2=3,p_3=5, p_4=7, p_5=11,...$ les nombres premiers.

Soit $$p_1\#:=p_1=2, p_2\#:=p_1\times p_2=2\times 3=6$$$$p_3\#:=p_1\times p_2\times p_3=2\times 3\times 5=30,...$$ les "primorielles".

J'ai récemment posé des questions au sujet de l'anneau $$\boxed{(\prod_{n=1}^{+\infty} \mathbb{Z} / p_n\mathbb Z,+,\times)} $$ où

$$\prod_p \mathbb{Z} / p=\mathbb Z/2\times \mathbb Z/3\times \mathbb Z/5\times \mathbb Z/7\times \mathbb Z/11\times...$$

________________________________

$$\varphi:\mathbb Z\to \prod_p \mathbb{Z} / p$$ $$n\mapsto (n,n,n,n,n,...)$$est un plongement de $\mathbb Z$, qui est injectif mais non surjectif.

___________________________

$$\prod_p \mathbb{Z} / p\approx \varprojlim(A_n,\varphi_n)$$

où $$\forall n\ge 1, A_n:=\mathbb Z/p_n\#\mathbb Z$$

En utilisant le théorème des restes chinois, ie l'isomorphisme $$\mathbb Z/2\times...\times \mathbb Z/p_n\approx A_n$$ $$\varphi_n((\xi_1,...,\xi_n)):=(\xi_1,...,\xi_{n-1})$$ où $x=(\xi_1,...,\xi_n)\in A_n$ …

L'application $A\mapsto {}^t A$ est un isomorphisme

19 avril 2024 19:57 — Par Amadou

Bonsoir ! Dans mon premier livre, il est dit que la vérification est évidente. Un des mots que je déteste quand il s'agit de démonstration.

Pour mieux comprendre, j'ai utilisé mon deuxième livre pour avoir plus d'informations. Mais mais heureusement, ils m'ont laissé le soin de faire la démonstration (ce que j'aime même si je trouve ça difficile).

Voici les questions que je me pose.

- Est-ce que cette écriture n'est pas simplement la linéarité de la transposée d'une matrice ?

- Est-ce que toutes les applications linéaires d'un espace vectoriel $E$ vers un espace vectoriel $F$ sont des isomorphismes …

Du changement dans la présentation ?

19 avril 2024 19:52 — Par jelobreuil

Bonsoir à tous,

Et alors ? On ne prévient pas quand on passe du rouge torride au bleu-nuit glacial ?

C'est en prévision des canicules estivales, ou quoi ?

N'empêche, ça fait un peu moins mal aux yeux, ça, c'est sûr !

Mais à qui devons-nous cette amélioration bienvenue ?

Grand merci, en tout cas !

Bien cordialement, JLB

Cobars et Véto et espace projectif réel

19 avril 2024 19:48 — Par stfj

Bonjour,

Je connais le plongement d'un plan affine $P$ dans un espace vectoriel $\widehat{P}$(j'ai appris cela au début de Géométrie pour l'élève professeur de Frenkel.)

Soit $O$ l'origine de $\widehat{P}$. Soit $N\in \widehat{P}$

$(\vec {OA},\vec{OB},\vec{OC})$ ie $(A,B,C)$ forment une base de l'espace vectoriel réel à $3$ dimensions $\widehat{P}$. Donc $$\exists !(\alpha',\beta',\gamma')\in \mathbb R^3\text{ tel que }N=\alpha' A+\beta' B+\gamma' C$$

Les barycentres de $A,B,C$ affectés de coefficients correspondent aux $M\in P$ tels que $$\alpha'+\beta'+\gamma'=1$$
________________________________________________
**Recherche:** Je recherche des exemples simples et parlants pour (me) montrer l'intérêt des coordonnées barycentriques
___________________________________
Pour montrer ce que cela m'évoque pour l'instant,

Exemple 1: …