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Espace vectoriel normé
18 avril 2024 08:13 — Par Mister Da
Bonjour à tous,
habituellement quand j'utilise un espace vectoriel normé c'est toujours sur un corps $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Ici il s'agit d'un espace vectoriel sur un corps fini et du coup j'ai un doute.
Soit $\mathbb{K} =\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ et $E = \mathbb{K}^n$, on définit l'application $w\colon E \to \mathbb{N}\subset\mathbb{R}$ par
\[ w(x) = \operatorname{Card}\{i \mid x_i\neq 0\}\quad\forall x = (x_1,\dots,x_n)\in E\;. \] On a
- $w(x) = 0 \iff x = 0_E$
- pour tout $\lambda\in\mathbb{K}$ et tout $x\in E$, on a $w(\lambda x) = |\lambda|w(x)$ (puisque $\lambda$ vaut soit $0$ soit $1$)
- pour tout $(x,y)\in E^2$, $w(x+y) \leq w(x)+w(y)$ …
Une relation
18 avril 2024 08:10 — Par Bouzar
Bonjour,
Je propose ce nouveau problème issu de ROG.
Soit $ABC$ un triangle. Soit $E$ un point quelconque sur la bissectrice issue du point $A.$
Montrer que $BO\times KQ = OK \times QC.$
Amicalement
$\int_{0}^{1}\frac{\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-x^2 \sin^2 \theta}}d\theta}{\sqrt{y-x}}dx$
18 avril 2024 07:19 — Par gebrane
Bonjour
Justifie que
$$\int_{0}^{1}\frac{\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-x^2 \sin^2 \theta}}d\theta}{\sqrt{y-x}}dx=\sqrt{\frac{\pi}{4y}}\sum_{n=0}^{\infty}\bigg(\frac{\Gamma\big(\frac{1}{2}+n\big)}{n!}\bigg)^2 $$
En déduire que le cas $y=1$ donne $\frac{\Gamma^2(1/8)\Gamma^2(3/8)}{2^{9/2}\pi}$
Source MSE
Produit de projecteur étant un projecteur
18 avril 2024 07:19 — Par Georges Abitbol
Bonjour !
Considérons l'énoncé suivant.
Enoncé :
Soit $\mathcal{A}$ une $\mathbb{C}$-algèbre involutive, i.e. une algèbre pas supposée commutative et munie d'une application $a \mapsto a^*$ antilinéaire et telle que $\forall a,b, \quad (ab)^* = b^*a^*$.
Soient $p,q$ deux projecteurs orthogonaux, i.e. des éléments idempotents fixes par l'involution. Supposons $pq = (pq)^2$. Alors $pq = qp$.
Je voudrais avoir votre avis là-dessus. Je ne sais le montrer que si je fais l'hypothèse additionnelle que $\mathcal{A}$ est une sous-algèbre involutive de $\mathbf{M}_n(\mathbb{C})$ munie de l'adjonction : j'utilise le lemme qui affirme que sous l'hypothèse $pq = (pq)^2$, alors $(pq-qp)^3 = 0$. Mais …
Une égalité
18 avril 2024 07:13 — Par Rescassol
Bonjour,
Un problème de M.Bataille vu sur le site de Tauraso:
$ABC$ est un triangle de cercle circonscrit $(O)$ de rayon $R$.
Un cercle $(A)$ de centre $A$ et de rayon $r$ coupe $(O)$ en $U$ et $V$.
$P$ est un des points d'intersection de $(A)$ et de la droite $(AB)$.
$P$ se projette orthogonalement en $Q$ sur $(UV)$.
Montrer que $BP\times r=2R\times PQ$.
J'ai une solution en Morley circonscrit.
Un problème de M.Bataille vu sur le site de Tauraso:
$ABC$ est un triangle de cercle circonscrit $(O)$ de rayon $R$.
Un cercle $(A)$ de centre $A$ et de rayon $r$ coupe $(O)$ en $U$ et $V$.
$P$ est un des points d'intersection de $(A)$ et de la droite $(AB)$.
$P$ se projette orthogonalement en $Q$ sur $(UV)$.
Montrer que $BP\times r=2R\times PQ$.
J'ai une solution en Morley circonscrit.
Cordialement,
Rescassol
Lexique
Distance d’un point à un plan quand le plan est donné par un point et deux vecteurs directeurs
[Théorème] :
Soit \(\mathscr P\) un plan défini passant par un point \(A\), engendré par les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) et de vecteur normal \(\overrightarrow{n}\). Soit \(M\) un point de l’espace. On a \[\boxed{d\left(M,\mathscr P\right) =\dfrac{\left|{\overrightarrow{n}}\cdot
\overrightarrow{AM}\right|}{\left\|\overrightarrow{n}\right\|}= \dfrac{\left|\left(\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}\right)\cdot
\overrightarrow{AM}\right|}{\left\|\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}\right\|} = \dfrac{\left|\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{AM}\right)\right|}{\left\|\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}\right\|}}\]