Les derniers exercices
Articles
Forum
Un exercice de probabilité niveau lycée
- A : L'élève choisi au hasard mesure plus de 1,80 mètre.
- F : L'élève choisi au hasard est une fille.
Il est …
Tores homéomorphes ?
Je suis débutant en topologie et j'ai du mal à me convaincre que tous les tores sont homéomorphes entre eux. Si un ver s'introduit dans un fruit et qu'il en ressort de l'autre côté après avoir fait un parcours intérieur en forme de noeud non trivial, comment imaginer que ce tore est équivalent à une simple rondelle trouée ? Existe-t-il une démonstration simple que me convaincrait, ou mieux, une vidéo qui montrerait la transformation continue de cette pomme en simple donuts ?
question sur les projecteurs
Merci
Déclin des maths, déclin littéraire : que faire ?
Bonjour à tous
Nous sommes deux amis doctorants : un matheux, un littéraire.
Chacun de nous s'est cassé les dents dans la discipline de l'autre.
Nous y avons connu :
- trop de profs brouillons ou impatients face à un public non-initié ;
- trop de repères cognitifs et méthodologiques laissés dans l'implicite ;
- une terminologie verbeuse et opaque.
Sur ce dernier point :
- nous devons expliciter nos prérequis et conventions d'écriture dans nos thèses ;
- nous déplorons que, vis-à-vis de nous, trop d'enseignants se soient jadis dispensés de ce travail.
Cette dispense, selon mon ami matheux, …
Primitive de fraction en sinus et cosinus
Bonjour
Je cherche la primitive de $\dfrac {\sin^4 x} {\sin^4 x + 4\cos^2 x}$.
A priori, j'hésite entre trois méthodes :smile:
- tangente de l'arc moitié suivie de la décomposition en éléments simples de la fraction ainsi obtenue
- tangente (règle de Bioche)
- linéarisation du numérateur et du dénominateur.
Y aurait-il une astuce ?
Gardez le cap !...
1
Toute homographie de \(\widetilde D\), avec \(D\) une droite affine, s’exprime de manière unique sous la forme \(M \mapsto [M,A,B,C]\) pour un certain triplet \((A,B,C)\) de points distincts de \(\widetilde D\). On appelle repère projectif de \(\widetilde D\) un triplet \(A,B,C\) de points distincts, et \([M,A,B,C]\) est appelé coordonnée de \(M\) dans le repère projectif \((A,B,C)\).
L’application qui à un point associe sa coordonnée dans un repère projectif est égale à composition par une homographie près à l’application qui à un point associe sa coordonnée dans un autre repère projectif.
Étant donné deux triplets de points distincts \((A,B,C)\) et \((A',B',C')\) respectivement sur \(\widetilde D\) et \(\widetilde D'\) (deux droites projectives), il existe une et une seule homographie \(h\) de \(\widetilde D\) sur \(\widetilde D'\) telle que \(h(A)=A'\), \(h(B)=B'\) et \(h(C)=C'\).
Étant donné deux quadruplets de points distincts \((A,B,C,D)\) et \((A',B',C',D')\) respectivement sur \(\tilde E\) et \(\tilde E'\) (deux droites projectives), il existe une homographie \(h\) de \(\tilde E\) sur \(\tilde E'\) telle que \(h(A)=A'\), \(h(B)=B'\), \(h(C)=C'\) et \(h(D)=D'\) si et seulement si \([A,B,C,D]=[A',B',C',D']\).
Une bijection entre deux droites projectives est une homographie si et seulement si elle conserve le birapport.
Étant donné \(\widetilde D\) une droite projective, et \(d \in \widetilde D\), \(\widetilde D\) induit sur \(E=\widetilde D \setminus \{d\}\) une structure de droite affine; \(GA(E)\) est l’ensemble des applications induites sur \(E\) par des homographies de \(\widetilde D\) dont \(d\) est un point fixe (on en déduit donc que tous les points de \(\widetilde D\) jouent le même rôle, même \(\infty\)).