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Exercice
Anneau \(\mathbb{Z}\left[\sqrt 7\right]\)
18 novembre 2022 16:00 — Par
- Emmanuel Vieillard-Baron
- Alain Soyeur
- François Capaces
On rappelle (exercice [sous_groupe_de_R] p. [sous_groupe_de_R]) que tout sous-groupe de \(\left(\mathbb{R},+\right)\) non réduit à \(\left\{0\right\}\) est soit de la forme \(a\mathbb{Z}\) où \(a\in\mathbb{R}_+^*\), soit dense dans \(\mathbb{R}\).
Soit \(H\) un sous-groupe de \((\mathbb R^*, \times)\).
Démontrer que
soit : \(\exists a\geqslant1:\, H = \left\lbrace a^n, n\in\mathbb Z\right\rbrace\),
soit : \(\forall (\alpha,\beta)\in\mathbb R_+^2\), \((\alpha<\beta) \Longrightarrow (]\alpha,\beta[\cap H \neq \varnothing)\).
(On pourra utiliser le logarithme.)
Dans toute cette partie, \(\mathcal A=\left\{ a+b\sqrt 7~|~ (a,b)\in \mathbb{Z}^2\right\}\). On admet que \(\sqrt7\notin\mathbb Q\). (voir l’exercice [racine7_irrationnel] p. [racine7_irrationnel].)
Démontrer que pour tout \(x\in\mathcal A\), il existe un unique couple \((a,b)\in \mathbb Z^2\) tel que \(x = a+b\sqrt7\).
Démontrer que \(\mathcal A\) est un sous-anneau de \((\mathbb R, +,\times)\).
Démontrer que l’ensemble \(U(\mathcal A)\) des éléments inversibles de \(\mathcal A\) est un sous-groupe de \((\mathbb R^*, \times)\).
Pour \(x = a+b\sqrt7\in \mathcal A\), on note \(\overline x\) le réel \(a-b\sqrt7\) et on note \(N(x) = x\overline x = a^2 - 7b^2\).
Expliquer rapidement pourquoi \(\overline x\) et \(N(x)\) sont bien définis.
Démontrer que \(\forall(x,y)\in\mathcal A^2\), \(N(xy) = N(x)N(y)\).
On admet que l’équation \(N(x) = -1\) n’admet pas de solution dans \(\mathcal A\). Voir à ce sujet l’exercice [residu_quadratique] p. [residu_quadratique].
Démontrer que \(\forall x\in\mathcal A\), \(\left(x\in U(\mathcal A) \Longleftrightarrow (N(x) = 1)\right)\). Le cas échéant, que vaut l’inverse de \(x\) ?
Soit \(a+b\sqrt7\in U(\mathcal A)\). Démontrer que (\(a\geqslant 0\) et \(b\geqslant 0\))\(\Longleftrightarrow (a+b\sqrt7\geqslant1)\).
Démontrer que \(U(\mathcal A)\) n’est pas réduit à \(\{-1,1\}\).
Démontrer que l’intervalle \(\left] 1,3\sqrt7\right[\) ne contient pas d’éléments de \(U(\mathcal A)\).
Démontrer qu’il existe un élément de \(u\) de \(U(\mathcal A)\cap]1,+\infty[\) tel que \[U(\mathcal A) = \left\lbrace \varepsilon u^n ; \varepsilon = \pm1 \textrm{ et } n\in\mathbb Z \right\rbrace .\] Le nombre \(u\) évidemment (?) unique est appelé unité principale de \(\mathcal A\).
On pose pour tout \(n\in\mathbb N\), \(u^n = a_n + b_n\sqrt7\).
Démontrer que les suites \((a_n)_{n\in\mathbb N}\) et \((b_n)_{n\in\mathbb N}\) sont positives et strictement croissantes.
En déduire la valeur de \(u\).
Donner dans l’ordre croissant des valeurs de \(x\), les quatre plus petites solutions dans \(\mathbb N^*\times\mathbb N^*\) de l’équation dite de Pell-Fermat : \[x^2 - 7y^2 = 1.\]
On pose \(\alpha_n = a_{2^n}\) et \(\beta_n = b_{2^n}\).
Établir des relations de récurrence entre les \(\alpha_{n+1}\) et \(\beta_{n+1}\) d’une part et les \(\alpha_{n}\) et \(\beta_{n}\) d’autre part.
Démontrer que \(\dfrac{a_n}{b_n}\) converge vers une limite finie \(\lambda\) que l’on déterminera.
Démontrer que \(\forall n\in\mathbb N\), \[\varepsilon_n = \left\vert \dfrac{\alpha_n}{\beta_n} - \lambda \right\vert \leqslant \dfrac{1}{2\sqrt7\,\beta_n^2}.\]
Donner une majoration explicite de l’erreur \(\varepsilon_n\) en fonction de \(n\).
(On pourra, faute de mieux, démontrer que \(\forall n\in\mathbb N^*\), \(\alpha_{n}\geqslant3^{2^n}\) et \(\beta_{n}\geqslant3^{2^n}\).)
En déduire une approximation rationnelle de \(\sqrt7\) à \(10^{-20}\) près.
Articles
Forum
Probabilité d'obtenir un nombre de 6 compris ...
26 mars 2023 00:26 — Par Shadows Asgard
Bonjour je suis bloqué sur cet exercice car je ne vois pas du tout comment procéder étant donné qu'il n'y a aucune indication de si on doit procéder par l'inégalité de Markov ou bien l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ou encore la loi faible des grands nombres ou encore le théorème limite central.
Comment peut-on savoir qu'est-ce qu'il faut utiliser pour résoudre le problème ? Quel indice avons-nous dans ce type de cas ?
Merci d'avance pour votre réponse
Bonne journée à vous
Cordialement.
![](/vanilla/index.php?p=/discussion/2333728/Bonjour je suis bloqué sur cet exercice car je ne vois pas du tout comment procéder étant donné qu'il n'y a aucune indication de si on doit procéder par l'inégalité de Markov ou bien l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ou encore la loi faible des grands nombres ou encore le théorème limite central.<br>Comment peut-on savoir qu'est-ce qu'il faut utiliser pour résoudre le problème ? Quel indice avons-nous dans ce type de cas ?<br><br>Merci d'avance pour votre réponse<br>Bonne journée à vous<br><div>Cordialement.</div><div><img src="https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/fv/u87ihp50fbi8.jpg" alt="" title="Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/fv/u87ihp50fbi8.jpg" width="683" height="113"><br></div>#latest "Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/fv/u87ihp50fbi8.jpg")
Compositions de fonctions réelles
26 mars 2023 00:07 — Par epiKx
Bonjour
Ma question est élémentaire mais je ne trouve pas de réponse sur le forum.
Y a-t-il des mathématiciens ayant étudié les équations de composition fonctionnelle ? Quels sont les documents correspondants ?
Ma question est élémentaire mais je ne trouve pas de réponse sur le forum.
Y a-t-il des mathématiciens ayant étudié les équations de composition fonctionnelle ? Quels sont les documents correspondants ?
Par exemple, trouver des fonctions à valeurs réelles ou complexes vérifiant fof=0.
Je ne prétends pas inventer quoi que ce soit en disant ça...
Ou peut-être qu'on ne peut rien dire... Déjà si la fonction est supposée linéaire on peut dire: Im(f) inclus dans ker(f). Quoi d'autre ?
Merci.
QCM sur la continuité
25 mars 2023 23:55 — Par gebrane
Bonjour,
Répondre par vrai ou faux (les fonctions considérées sont définies de $\R$ dans $\R$)
1-Il existe une fonction continue sur $\R$ et discontinue sur $\Q$
1-
Il existe une fonction continue sur $\R$ \ $\Q$ et discontinue partout sur $\Q$
2- Il existe une fonction continue sur $\Q $ et discontinue sur $\R$
Il existe une fonction continue sur $\Q $ et discontinue partout sur $\R$ \ $\Q$
3- Il existe une fonction continue en 0 et discontinue partout sur $\R^*$
4-Il existe une fonction continue nulle part sur $\R$.
4-Il existe une fonction continue nulle part sur $\R$.
Désolé pour la faute de frappe
Objet appartenant à une tribu
25 mars 2023 23:38 — Par Darksasukee
Bonjour,
j'ai une question sur l'ensemble des obejts appartenant à une tribu.
Par exemple, on note $\beta$ la tribu $\beta$=$\{{\mathbb{R}},\emptyset\}$.
On sait que $3\in\mathbb{R}$ et on sait que $\mathbb{R}\subset\beta$. Ainsi peut-on dire que $3\in\beta$ ?
La preuve que $\zeta'(0)=-\frac{\ln(2\pi)}{2}$
25 mars 2023 23:16 — Par L2M
Je cherche des preuves (ou des références) que \[\zeta'(0)=-\frac{\ln(2\pi)}{2}.\]
Merci.
Lexique
Développement limité
[Définition] :
On dit que \(f\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{C}\) admet un développement limité en \(a\in
\mathbb{R}\) à l’ordre \(n\) s’il existe une fonction polynôme \(P\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{C}\) telle que au voisinage de \(a\) \[f(x)=P(x)+o((x-a)^n).\]