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Exercice

Escargots et coquilles

16 avril 2024 14:09 — Par
  • Michel Quercia

  1. Soient \(A_{1},A_{2},\dots,A_n\) des évènements. On veut prouver la formule du crible : \[\mathbb P (A_{1}\cup \dots\cup A_n) = \sum_i\mathbb P (A_i) - \sum_{i<j}\mathbb P (A_i\cap A_j) + \sum_{i<j<k}\mathbb P (A_i\cap A_j\cap A_k) - \dots+ (-1)^{n-1}\mathbb P (A_{1}\cap \dots\cap A_n).\]

    1. Traiter les cas \(n=2\) et \(n=3\).

    2. Pour le cas général, on note \(\mathbb 1 _A\) la fonction indicatrice de l’évènement \(A\). Exprimer \(\mathbb 1 _{\overline{A_{1}\cup \dots\cup A_n}}\) en fonction des \(\mathbb 1 _{A_i}\) et calculer son espérance.

  2. Soit \(\sigma \in S_n\). On dit que \(\sigma\) est un dérangement si \(\sigma (i)\neq i\) pour tout \(i\). Quelle est la probabilité qu’une permutation choise au hasard soit un dérangement ?

  3. La société Burgundy Snail Inc. reçoit chaque semaine 6000 escargots vivants. Elle les fait bouillir ensemble dans une grande marmite ce qui a pour effet (entre autres) de détacher chaque escargot de sa coquille. Les escargots bouillis flottent à la surface et les coquilles tombent au fond de la marmite. Une chaîne de traitement récupère les escargots et les assaisonne ; une autre chaîne récupère les coquilles, les nettoie et les fait briller. Puis escargots et coquilles rejoignent une troisième chaîne qui place chaque escargot dans une coquille et les emballe par boîtes de 12. On demande :

    1. La probabilité que chaque escargot se retrouve dans sa coquille d’origine.

    2. La probabilité qu’aucun escargot ne se retrouve dans sa coquille d’origine.

    3. La probabilité que chaque boite de 12 escargots contienne exactement un escargot qui est dans sa coquille d’origine.

Forum

La méthode miracle pour réussir l'agrégation interne. Ou pas.

22 avril 2024 10:33 — Par Matricule_63

Lauréat de l'agrégation interne cette année, j'avais envie de partager un peu mon parcours, mon expérience et mes ressentis, si cela peut intéresser les futurs agrégatifs.
Je ne prétend pas donner de leçons ou de conseils, à vous de prendre les infos qui vous semblent pertinentes pour vous.
J'ai eu des bonnes idées, d'autres très mauvaises, sans compter celles qui ont étés bonnes ou mauvaise pour ma personne mais qui ne le seraient pas forcément pour vous.

1. CAPES
Je suis entré dans le métier via le CAPES. Je savais que l'agrégation existait, mais la distinction entre les deux concours …

Quand a-t-on utilisé pour la première fois la notation $\delta_{\varepsilon}$ ?

22 avril 2024 10:25 — Par Cyrano

Bonjour,
Ce fil pourrait également être placé dans la section "histoire des maths".

Beaucoup de professeurs d'analyse utilisent une notation "skolémizée" pour marquer la dépendance entre variables. Ainsi le $\delta$ apparaissant dans la fameuse définition de la limite $\forall \varepsilon \exists \delta ...$ est souvent noté $\delta_{\varepsilon}$. 

Je m'intéresse à l'histoire de cette pratique. Certains messages sur mathoverflow semblent indiquer que cette pratique existait déjà bien avant l'introduction formelle des quantificateurs et des règles syntaxiques associées. D'autre part je sais aussi que Cauchy ne l'utilisait pas ce qui le conduisait d'ailleurs à commettre des erreurs dans ses preuves (confusion entre …

Capes de mathématiques 2024 : une épreuve écrite de « niveau lycée » ?

22 avril 2024 10:16 — Par Fin de partie

https://www.lepoint.fr/education/capes-de-mathematiques-2024-une-epreuve-ecrite-de-niveau-lycee-19-04-2024-2558094_3584.php

Ai-je besoin de préciser le contenu de cet article?

Je ne crois pas (après recherche) que cet article a déjà été partagé sur le forum. Le cas contraire, mes excuses à la modération.


Premiers, triangulaires et partition

22 avril 2024 09:58 — Par Cidrolin

Soit $n$ un entier, $\pi(n)$. désigne le nombre de premiers qui sont inférieurs ou égaux à $n$, $p_n$ le n-ième nombre premier, et $t_n$  le  nombre $n(n+1)/2$.
On pose $a_n=n+\pi(n-1)+E((-1+\sqrt {8n-7})/2)$,
les premières valeurs sont : 1,3,5,8.
$b_n=n+p_n+E((-1+\sqrt {8p_n+1})/2)$,
les premières valeurs sont : 4,7,10,14.
$c_n=\pi(t_n-1)+n+t_n$,
les premières valeurs sont : 2,6,12,18.

Montrez que ces 3 suites forment une  partition de $N^*$.

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Paramétrage d'un cercle de l'espace

22 avril 2024 09:31 — Par Piteux_gore

Bonjour,
Comment peut-on paramétrer le cercle d'équations $x^2+y^2+z^2 = r^2, x+y+z = k$ ?
Hasta luego !...

Lexique

Relation de Chasles

[Proposition] :
Soit une fonction \(f\) continue par morceaux sur l’intervalle \(I\) et trois réels \(a,b,c\in I\). Alors \[\boxed{\int_{a}^{b} f\left(x\right)\,\textrm{d}x=\int_{a}^{c} f\left(x\right)\,\textrm{d}x+\int_{c}^{b} f\left(x\right)\,\textrm{d}x}\]

Guide pour les auteures et auteurs de
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