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Exercice

Anneau \(\mathbb{Z}\left[\sqrt 7\right]\)

18 novembre 2022 16:00 — Par
  • Emmanuel Vieillard-Baron
  • Alain Soyeur
  • François Capaces

  1. On rappelle (exercice
    [sous_groupe_de_R] p. [sous_groupe_de_R]) que tout sous-groupe de \(\left(\mathbb{R},+\right)\) non réduit à \(\left\{0\right\}\) est soit de la forme \(a\mathbb{Z}\)\(a\in\mathbb{R}_+^*\), soit dense dans \(\mathbb{R}\).

    Soit \(H\) un sous-groupe de \((\mathbb R^*, \times)\).
    Démontrer que

    • soit : \(\exists a\geqslant1:\, H = \left\lbrace a^n, n\in\mathbb Z\right\rbrace\),

    • soit : \(\forall (\alpha,\beta)\in\mathbb R_+^2\), \((\alpha<\beta) \Longrightarrow (]\alpha,\beta[\cap H \neq \varnothing)\).

    (On pourra utiliser le logarithme.)

  2. Dans toute cette partie, \(\mathcal A=\left\{ a+b\sqrt 7~|~ (a,b)\in \mathbb{Z}^2\right\}\). On admet que \(\sqrt7\notin\mathbb Q\). (voir l’exercice [racine7_irrationnel] p. [racine7_irrationnel].)

    1. Démontrer que pour tout \(x\in\mathcal A\), il existe un unique couple \((a,b)\in \mathbb Z^2\) tel que \(x = a+b\sqrt7\).

    2. Démontrer que \(\mathcal A\) est un sous-anneau de \((\mathbb R, +,\times)\).

    3. Démontrer que l’ensemble \(U(\mathcal A)\) des éléments inversibles de \(\mathcal A\) est un sous-groupe de \((\mathbb R^*, \times)\).

  3. Pour \(x = a+b\sqrt7\in \mathcal A\), on note \(\overline x\) le réel \(a-b\sqrt7\) et on note \(N(x) = x\overline x = a^2 - 7b^2\).

    1. Expliquer rapidement pourquoi \(\overline x\) et \(N(x)\) sont bien définis.

    2. Démontrer que \(\forall(x,y)\in\mathcal A^2\), \(N(xy) = N(x)N(y)\).
      On admet que l’équation \(N(x) = -1\) n’admet pas de solution dans \(\mathcal A\). Voir à ce sujet l’exercice [residu_quadratique] p. [residu_quadratique].

    3. Démontrer que \(\forall x\in\mathcal A\), \(\left(x\in U(\mathcal A) \Longleftrightarrow (N(x) = 1)\right)\). Le cas échéant, que vaut l’inverse de \(x\) ?

    1. Soit \(a+b\sqrt7\in U(\mathcal A)\). Démontrer que (\(a\geqslant 0\) et \(b\geqslant 0\))\(\Longleftrightarrow (a+b\sqrt7\geqslant1)\).

    2. Démontrer que \(U(\mathcal A)\) n’est pas réduit à \(\{-1,1\}\).

    3. Démontrer que l’intervalle \(\left] 1,3\sqrt7\right[\) ne contient pas d’éléments de \(U(\mathcal A)\).

    4. Démontrer qu’il existe un élément de \(u\) de \(U(\mathcal A)\cap]1,+\infty[\) tel que \[U(\mathcal A) = \left\lbrace \varepsilon u^n ; \varepsilon = \pm1 \textrm{ et } n\in\mathbb Z \right\rbrace .\] Le nombre \(u\) évidemment (?) unique est appelé unité principale de \(\mathcal A\).

  4. On pose pour tout \(n\in\mathbb N\), \(u^n = a_n + b_n\sqrt7\).

    1. Démontrer que les suites \((a_n)_{n\in\mathbb N}\) et \((b_n)_{n\in\mathbb N}\) sont positives et strictement croissantes.

    2. En déduire la valeur de \(u\).

    3. Donner dans l’ordre croissant des valeurs de \(x\), les quatre plus petites solutions dans \(\mathbb N^*\times\mathbb N^*\) de l’équation dite de Pell-Fermat : \[x^2 - 7y^2 = 1.\]

  5. On pose \(\alpha_n = a_{2^n}\) et \(\beta_n = b_{2^n}\).

    1. Établir des relations de récurrence entre les \(\alpha_{n+1}\) et \(\beta_{n+1}\) d’une part et les \(\alpha_{n}\) et \(\beta_{n}\) d’autre part.

    2. Démontrer que \(\dfrac{a_n}{b_n}\) converge vers une limite finie \(\lambda\) que l’on déterminera.

    3. Démontrer que \(\forall n\in\mathbb N\), \[\varepsilon_n = \left\vert \dfrac{\alpha_n}{\beta_n} - \lambda \right\vert \leqslant \dfrac{1}{2\sqrt7\,\beta_n^2}.\]

    4. Donner une majoration explicite de l’erreur \(\varepsilon_n\) en fonction de \(n\).
      (On pourra, faute de mieux, démontrer que \(\forall n\in\mathbb N^*\), \(\alpha_{n}\geqslant3^{2^n}\) et \(\beta_{n}\geqslant3^{2^n}\).)

    5. En déduire une approximation rationnelle de \(\sqrt7\) à \(10^{-20}\) près.

      Voir aussi exercice [Z_racine_deux] p. [Z_racine_deux].

Forum

Blagues mathématiques

2 décembre 2023 05:57 — Par Jaymz

Comment cela est-ce possible, après quelques recherches sur le forum , je ne vois aucun sujet traitant de blagues mathématiques, par défaut, libre aux admin de changer l'emplacement, je le place ici et commence par quelques blagues , certaines (la première ici) étant accessible aux non initiés.... - Que dit 0 quand il rencontre 8 :.......................belle ceinture! - C'est la fonction carré qui va se promener en forêt, de retour elle s'est transformée en fonction valeur absolue, pourquoi?........................parce qu'elle s'est pris une racine. - Logarithme et Exponentielle sont en soirée. Tandis que Log s'éclate sur le dancefloor et profite de …

Enseigner correctement les fonctions en secondaire

2 décembre 2023 05:47 — Par Cyrano

Bonjour,

On a déjà parlé plusieurs fois des problèmes intrinsèques suscités par la définition de fonction en secondaire, comme étant une "loi" ou un "processus" ou une "machine". Dans le meilleur des cas, la fonction sera définie comme une relation particulière (ce qui est correct) mais le mot relation lui-même restera indéfini. On utilisera alors un synonyme du type "une relation est une correspondance" ce qui permet toujours de noyer le poisson.

Le coeur du problème semble être la notion de couple, qui est peu (voire pas du tout) explicitée en secondaire. Si on veut définir une fonction comme une …

Calendrier de L’Avent II

2 décembre 2023 05:31 — Par Quentino37

Bonjour à tous, et à toute
À l’instar du calendrier de l’avent de l’année dernière, il se devait d’en refaire un nouveau cette année. Il est un peu tard, mais vaut mieux tard que jamais !
Déroulement.
Chaque jour, du 1er décembre au 31 décembre, un joli problème de mathématiques sera proposé par un volontaire avant 10h. Vous pourrez envoyer vos solutions complètes ou partielles à partir de 15h, (pour laisser tout les participants réfléchir, au moins le midi).
Restriction.
Il ne doit pas figurer la lettre e dans vos énoncés. (Vous pourrez demanderez à Anton Voyl la raison de cela)
Ici …

Un prix de 5 millions de dollars pour une IA capable d'obtenir l'or aux olympiades internationales

1 décembre 2023 23:47 — Par Héhéhé

Plus de détails : https://aimoprize.com/

Traduction avec Google Translate :smile:

XTX Markets lance un nouveau fonds de défi de 10 millions de dollars, le Prix de l'Olympiade mathématique d'intelligence artificielle (Prix AI-MO). Le fonds vise à stimuler le développement de modèles d'IA capables de raisonner mathématiquement, conduisant à la création d'un modèle d'IA partagé publiquement capable de remporter une médaille d'or à l'Olympiade mathématique internationale (OMI).
Le grand prix de 5 millions de dollars sera décerné au premier modèle d'IA partagé publiquement à participer à un concours approuvé par l'AI-MO et à atteindre un niveau équivalent à une médaille d'or à …

Diagonalisation d'une matrice

1 décembre 2023 23:19 — Par M4d

Diagonaliser, si possible cette matrice 
       (   1   2   -2 )
A = (   2   1   -2 )
       (   2   2   -3 )

Lexique

Gauss

[Lemme] :
Soient \(a,b,c\in{ \mathbb Z}\). Si \(a\) divise \(bc\) et que \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux, alors \(a\) divise \(c\).

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