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Exercice
Anneau \(\mathbb{Z}\left[\sqrt 7\right]\)
18 novembre 2022 16:00 — Par
- Emmanuel Vieillard-Baron
- Alain Soyeur
- François Capaces
On rappelle (exercice [sous_groupe_de_R] p. [sous_groupe_de_R]) que tout sous-groupe de \(\left(\mathbb{R},+\right)\) non réduit à \(\left\{0\right\}\) est soit de la forme \(a\mathbb{Z}\) où \(a\in\mathbb{R}_+^*\), soit dense dans \(\mathbb{R}\).
Soit \(H\) un sous-groupe de \((\mathbb R^*, \times)\).
Démontrer que
soit : \(\exists a\geqslant1:\, H = \left\lbrace a^n, n\in\mathbb Z\right\rbrace\),
soit : \(\forall (\alpha,\beta)\in\mathbb R_+^2\), \((\alpha<\beta) \Longrightarrow (]\alpha,\beta[\cap H \neq \varnothing)\).
(On pourra utiliser le logarithme.)
Dans toute cette partie, \(\mathcal A=\left\{ a+b\sqrt 7~|~ (a,b)\in \mathbb{Z}^2\right\}\). On admet que \(\sqrt7\notin\mathbb Q\). (voir l’exercice [racine7_irrationnel] p. [racine7_irrationnel].)
Démontrer que pour tout \(x\in\mathcal A\), il existe un unique couple \((a,b)\in \mathbb Z^2\) tel que \(x = a+b\sqrt7\).
Démontrer que \(\mathcal A\) est un sous-anneau de \((\mathbb R, +,\times)\).
Démontrer que l’ensemble \(U(\mathcal A)\) des éléments inversibles de \(\mathcal A\) est un sous-groupe de \((\mathbb R^*, \times)\).
Pour \(x = a+b\sqrt7\in \mathcal A\), on note \(\overline x\) le réel \(a-b\sqrt7\) et on note \(N(x) = x\overline x = a^2 - 7b^2\).
Expliquer rapidement pourquoi \(\overline x\) et \(N(x)\) sont bien définis.
Démontrer que \(\forall(x,y)\in\mathcal A^2\), \(N(xy) = N(x)N(y)\).
On admet que l’équation \(N(x) = -1\) n’admet pas de solution dans \(\mathcal A\). Voir à ce sujet l’exercice [residu_quadratique] p. [residu_quadratique].
Démontrer que \(\forall x\in\mathcal A\), \(\left(x\in U(\mathcal A) \Longleftrightarrow (N(x) = 1)\right)\). Le cas échéant, que vaut l’inverse de \(x\) ?
Soit \(a+b\sqrt7\in U(\mathcal A)\). Démontrer que (\(a\geqslant 0\) et \(b\geqslant 0\))\(\Longleftrightarrow (a+b\sqrt7\geqslant1)\).
Démontrer que \(U(\mathcal A)\) n’est pas réduit à \(\{-1,1\}\).
Démontrer que l’intervalle \(\left] 1,3\sqrt7\right[\) ne contient pas d’éléments de \(U(\mathcal A)\).
Démontrer qu’il existe un élément de \(u\) de \(U(\mathcal A)\cap]1,+\infty[\) tel que \[U(\mathcal A) = \left\lbrace \varepsilon u^n ; \varepsilon = \pm1 \textrm{ et } n\in\mathbb Z \right\rbrace .\] Le nombre \(u\) évidemment (?) unique est appelé unité principale de \(\mathcal A\).
On pose pour tout \(n\in\mathbb N\), \(u^n = a_n + b_n\sqrt7\).
Démontrer que les suites \((a_n)_{n\in\mathbb N}\) et \((b_n)_{n\in\mathbb N}\) sont positives et strictement croissantes.
En déduire la valeur de \(u\).
Donner dans l’ordre croissant des valeurs de \(x\), les quatre plus petites solutions dans \(\mathbb N^*\times\mathbb N^*\) de l’équation dite de Pell-Fermat : \[x^2 - 7y^2 = 1.\]
On pose \(\alpha_n = a_{2^n}\) et \(\beta_n = b_{2^n}\).
Établir des relations de récurrence entre les \(\alpha_{n+1}\) et \(\beta_{n+1}\) d’une part et les \(\alpha_{n}\) et \(\beta_{n}\) d’autre part.
Démontrer que \(\dfrac{a_n}{b_n}\) converge vers une limite finie \(\lambda\) que l’on déterminera.
Démontrer que \(\forall n\in\mathbb N\), \[\varepsilon_n = \left\vert \dfrac{\alpha_n}{\beta_n} - \lambda \right\vert \leqslant \dfrac{1}{2\sqrt7\,\beta_n^2}.\]
Donner une majoration explicite de l’erreur \(\varepsilon_n\) en fonction de \(n\).
(On pourra, faute de mieux, démontrer que \(\forall n\in\mathbb N^*\), \(\alpha_{n}\geqslant3^{2^n}\) et \(\beta_{n}\geqslant3^{2^n}\).)
En déduire une approximation rationnelle de \(\sqrt7\) à \(10^{-20}\) près.
Articles
Forum
Pénurie enseignants 2023
29 mai 2023 15:47 — Par zestiria
Bonjour à tous,
Sur Pôle Emploi, je vois plein d'offres de postes en maths, pour la rentrée 2023.
Les rectorats publient des offres alors que le CAPES est encore en cours.
Il y a des établissements privés.
Un établissement m'a même proposé un entretien, mais j'ai refusé, parce que l'établissement se situe en dehors de l' Ile de France.
Suite exacte/produit semi-direct/section
29 mai 2023 15:41 — Par Sn
Bonjour
En écrivant ma question, je crois bien que la réponse est venue d'elle-même.
Je me permets néanmoins de vous demander une confirmation sur ma compréhension du sujet.
Le sujet porte sur le liens entre les suites exactes et les produits semi-directs, plus précisément la notion de section.
En effet, fixons nous un suite exacte : $$\xymatrix{1 \ar[r] & H \ar[r]^u & G \ar[r]^p & F \ar[r] &1
}$$ Comme $u(H)=\ker(p)$, $u(H)$ est distinguée dans $G$, alors $G/u(H)$ est un groupe et il est isomorphe à $F$ puisque $p$ est surjective.
Or, si on se fixe une famille de …
Loi de Gumbel
29 mai 2023 15:11 — Par celrek19
Bonsoir à tous j’ai besoin d’aide pour démarrer la question 1 j’ai un peu de doute ? ![](/vanilla/index.php?p=/discussion/2334506/Bonsoir à tous j’ai besoin d’aide pour démarrer la question 1 j’ai un peu de doute ? <br><img alt="" src="https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/nb/vk3uuu726frj.jpeg" title="Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/nb/vk3uuu726frj.jpeg" width="715" height="334"><br>#latest "Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/nb/vk3uuu726frj.jpeg")
Thèse et co-encadrement
29 mai 2023 15:10 — Par Cere
Bonjour,
J'envisage de commencer une thèse en septembre et j'ai des interrogations concernant la co-direction.
Voici le contexte :
Initialement, j'avais accepté un sujet de stage+thèse, supervisé conjointement par deux personnes que nous appellerons A et B. Ce sujet ne fait pas partie du domaine d'expertise de ces deux chercheurs. A a tout de même une connaissance approfondie du sujet, tandis que B ne le maîtrise pas, bien qu'il ait une expertise dans un domaine connexe.
Comme l'encadrement devait être assuré à parts égales par A et B, et que A, étant plus expérimenté et ayant une meilleure connaissance du …
Niveau collège
29 mai 2023 14:53 — Par gebrane
Bonjour @Oshine
L'exercice est intégré dans l'image. J'ai fait une chasse à l'angle et je trouve $\widehat{CBA}=\widehat{ACB}=40°$ et (edit correction coquille) $\widehat{ADB}+\widehat{DBC}=40°$, je ne vois pas comment utiliser l'égalité des distances $AD=BC$.
L'exercice est intégré dans l'image. J'ai fait une chasse à l'angle et je trouve $\widehat{CBA}=\widehat{ACB}=40°$ et (edit correction coquille) $\widehat{ADB}+\widehat{DBC}=40°$, je ne vois pas comment utiliser l'égalité des distances $AD=BC$.
 $\widehat{ADB}+\widehat{DBC}=40°$, je ne vois pas comment utiliser l'égalité des distances $AD=BC$.</div><div><img alt="" src="https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/d6/21n5i43edg52.jpg" title="Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/d6/21n5i43edg52.jpg" width="612" height="276"><br></div>#latest "Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/d6/21n5i43edg52.jpg")
Lexique
Le produit mixte est alterné
[Proposition] :
Soient \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{w}\) trois vecteurs de \(\mathscr V\). Si deux de ces trois vecteurs sont égaux alors le produit mixte de ces trois vecteurs \(\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)\) est nul.