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Un zeste de géométrie projective

20 mai 2024 22:39 — Par pappus

Bonjour à tous
On se donne dans le plan projectif une conique $\Gamma$ et deux points $P$ et $P'$.
Soient $PTU$ et $P'T'U'$ les triangles harpons des points $P$ et $P'$ par rapport à $\Gamma$.
Montrer que les six points $(P,T,U,P',T',U')$ sont situés sur une même conique $\gamma$.
Quand cette conique $\gamma$ est-elle décomposée?
En faisant des hypothèses supplémentaires adéquates sur ce plan projectif, quand cette conique $\gamma$ est-elle une parabole, un cercle, une hyperbole équilatère?
Amicalement
pappus
PS
A défaut de connaitre le début du commencement des défunts théorèmes généraux de la théorie des coniques projectives, on pourra privilégier …

Equation de degré 3 par la méthode de Viète

20 mai 2024 22:22 — Par Calembour

Méthode intéressante pour la résolution des équations de degré 3 (probablement assez connue) : 

Il s'agit de résoudre l'équation $x^3 + px + q = 0$ dans le cas où $p$ et $q$ sont des réels et où le discriminant $\Delta = -4p^3 -27 q^2 \ge 0$

On pose $x = \alpha y$ avec $\alpha = \sqrt{- \frac{p}{3}}$ d'où :
$$\alpha^3 y^3 + p \alpha y + q = 0$$
$$\frac{-p}{3} \sqrt{- \frac{p}{3}} y^3 + p \sqrt{- \frac{p}{3}} y + q = 0$$

D'où : 

$$ y^3 - 3y = 2u $$

Avec $2u = - \frac{q}{\alpha^3} $ et on voit …

Morse-Kelley vs modèles standard

20 mai 2024 22:12 — Par Martial

Bonjour à tous,
Notons MK la théorie des ensembles et classes de Morse-Kelley. J'ai toujours affirmé péremptoirement que MK n'admet que des modèles standard. (Donc, si j'en crois la signature de @"Médiat_Suprème", cela doit être faux). En fait je croyais que c'était évident, mais à y réfléchir j'ai un doute. Quelqu'un a-t-il des infos là-dessus ?
Merci d'avance
Martial

Cercles harpons d'une parabole.

20 mai 2024 22:11 — Par pappus

Bonjour à tous
Voici un simple exercice pour ceux qui veulent vraiment faire de la géométrie!
La figure ci-dessous montre une parabole $\Pi$.
Quelle correspondance involutive simple doit exister entre les points $M$ et $M'$ pour que les six points $M$, $M'$, $T$, $U$, $T'$,$U'$ soient cocycliques?
Amicalement
pappus
PS
Autrement dit, $M$ et $M'$ ont le même cercle harpon!

Primitive et calcul d'intégrale

20 mai 2024 21:51 — Par OShine

Bonjour,

C'est l'exercice 7.19.
Pour la question 1, aucune difficulté.
Je bloque sur le corrigé de la question 2.
Je ne comprends pas le $G(x)=F(x-2 n \pi)+ \alpha_n$ ni la récurrence qui permet de calculer $\alpha_n$.


Lexique

Représentation paramétrique d’une droite

[Proposition] :
Soit \(\mathscr R(O,\overrightarrow{\imath },\overrightarrow{\jmath})\) un repère du plan. Soit \(D\) une droite du plan passant par un point \(A\) de coordonnées \((x_A,y_A)\) dans \(\mathscr R\) et dirigée par le vecteur non nul \(\overrightarrow{u} \left|\begin{matrix} \alpha \\ \beta \end{matrix} \right.\). \(D\) admet comme représentation paramétrique:

\[\boxed{\begin{cases} x&=x_A+t\,\alpha \\ y&=y_A+t\, \beta \end{cases} ; t\in\mathbb{R}} \quad \left(\star\right)\]

(Ce qui signifie que \(M(x_M,y_M)\in D\Leftrightarrow \exists \lambda_0 \in \mathbb{R}~~\left\{\begin{array}{c} x_M=x_A+\lambda_0\,\alpha \newline y_M=y_A+\lambda_0\, \beta \end{array}\right.\)).

Guide pour les auteures et auteurs de
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