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Deux relations métriques

27 janvier 2022 11:50 — Par yan2

Bonjour,

dans la figure ci-jointe, on souhaite montrer deux relations métriques :
$$\dfrac{KP}{PA}+\dfrac{KQ}{QB}=1\qquad\qquad\hbox{et}\qquad\qquad \dfrac{SK}{SM}+\dfrac{RK}{RM}=2.$$
Je suis arrivé à le faire grâce à une utilisation du théorème de Ménélaus. Avez-vous d'autres approches ?
Merci.

Que vaut $E^0$ ?

27 janvier 2022 11:05 — Par PierreCap

Bonjour.

Si $E$ est un ensemble quelconque, que vaut le produit cartésien $E^0$ ?
J'hésite entre $\emptyset$ et $\{\emptyset\}$. Mais les deux me posent un problème métaphysique ...

Pierre

Série numérique résultat surprenant

27 janvier 2022 10:52 — Par etanche

Bonjour 
Montrer $$\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{(-1)^n H_{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor } }{n} = \ln^2 (2)$$ Merci.

Théorème de Plancherel sur le Tore

27 janvier 2022 10:35 — Par Niser

Bonjour,
Soient $u,v\in L^2(\mathbb T)$. Est-ce que la version de l'égalité de Plancherel sur le Tore correspond à ceci : $$
\langle u \mid v\rangle = \sum_n \langle \widehat{u}(n) \mid \widehat{v}(n)\rangle\,, $$
où $\langle u \mid v\rangle $ désigne le produit scalaire dans $L^2$ sur le tore : $\int_0^{2\pi} u\bar{v}\, \frac{dx}{2\pi}$ ?
Merci d'avance ! 

Lexique

Runge

[Théorème] :

Soit \(K\) un compact de \(\mathbb{C}\), inclus dans un ouvert \(\Omega\).

Soit \(Z\) une partie de \(\mathbb{C}\) contenant au moins un point dans chaque composante connexe de \((\mathbb{C}\cup \{ \infty \}) \setminus K\).

Alors l’ensemble des fractions rationnelles dont les pôles sont inclus dans \(Z\) est dense dans l’ensemble des fonctions holomorphes sur \(\Omega\), pour la topologie de la convergence uniforme sur \(K\).

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