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Qu'est-ce que Conway appelle un triangle?

25 mai 2024 12:10 — Par stfj

Bonjour,

En m'intéressant à la
démonstration du théorème de Steiner-Lehmus(à propos duquel Coxeter et Greitzer écrivaient dans Redécouvrons la géométrie, "Les tentatives pour les[NDLR: ce type de problème] résoudre ont conduit à développer maintes branches nouvelles des mathématiques"), je suis tombé sur un écrit de J.H. Conway.

 Celui-ci part des mêmes expressions que celles que j'avais obtenues :

Soit $ABC$ un triangle avec $a:=BC$ et circulairement.

$$AA'^2=CC'^2\iff c(b^2+2ab+a^2)(c+b-a)-a(b^2+2bc+c^2)(a+b-c)=0$$ $$\iff ...\iff (c-a)(b^3+abc+b^2c+ab^2+ac(c+a))=0\iff a=c$$en s'appesantissant ensuite sur le fait qu'on utilise le fait que $a,b,c$ sont positifs dans la dernière équivallence.

"I've often responded to questions about why this …

Numéroter toutes les lignes dans un document latex

25 mai 2024 12:09 — Par tylnx

Bonjour à tous,

Je souhaite numéroter dans la marge gauche toutes les lignes dans un document latex.  
J'ai ultilisé  \usepackage{lineno} puis \linenumbers après le \begin{document}.
Mais je constate que certaines lignes et equations ne sont pas numérotées.

Comment puis-je faire pour que toutes les lignes soient numérotées, y compris les équations  dans tout le document ? 

Coniques inscrites dans un triangle

25 mai 2024 11:54 — Par stfj

Bonjour,

$\color{red}\text{Edit}$

Désolé de revenir sur un sujet probablement mille fois éculé. Je m'intéresse aux coniques inscrites dans un triangle. J'ai cherché dans le "rechercher" du site mais cela dysfonctionne.

Je m'étais naïvement posé la question pour appliquer le calcul en barycentrique.
Soit $A,B,C,AB,AC,BC\simeq \begin{bmatrix}1 \\0 \\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 \\1 \\0
\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0 \\0 \\1\end{bmatrix},[0,0,1],[0,1,0],[1,0,0]$

Soit $Q$ la matrice de la conique telle que $AB,AC,BC$ sont tangentes à $Q$. Alors ces droites $d$ vérifient $$d\cdot Q^{-1}\cdot ^td=0$$ Donc $Q^{-1} $ est de la forme $$Q^{-1}\simeq\begin{bmatrix}0 & u & v \\u & 0 & w \\v&w&0 \end{bmatrix}$$Donc $$Q\simeq \begin{bmatrix}-w^2 & vw & uw …

Courbes données par une EDO en polaires

25 mai 2024 11:48 — Par Piteux_gore

Bonjour,
Un petit exercice sympa pour terminer la semaine.
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On considère l'équation $(E) : r'\sin 2\theta + r \cos 2\theta = r^3/a^2$, où $a$ est une longueur donnée.
1) Trouver, sans intégrer $(E)$, le lieu $( \Gamma )$ des points de contact des tangentes menées aux courbes intégrales perpendiculairement à l'axe polaire.
2) Trouver, sans intégrer $(E)$, le lieu $( \omega )$ des pieds des normales menées de $O$ aux courbes intégrales.
3) Intégrer $(E)$ et définir géométriquement, d'une manière simple, les courbes intégrales.
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A la revoyure...

Votre avis sur un lieu géométrique

25 mai 2024 11:35 — Par Piteux_gore

Bonjour,
Dans l'exercice suivant
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1) Trouver l'intégrale générale de $(3x^2 - 5y^2)xdx + (7x^2 - y^2)ydy = 0$.
2) Soit $(C)$ la courbe intégrale passant par le point $A(a \sqrt 3, 0)$ ; montrer que $(C)$ est le lieu des points $M$ tels que $1/MF^2 + 1/MF'^2 = 2/a^2$, où $F$ et $F'$ sont les points d'abscisses $\pm a$ sur $Ox$.
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Pour 1) je trouve les équations paramétriques $ x = C \sqrt {|t^2 - 3|}/(t^2 + 1), y = Ct \sqrt {|t^2 - 3|}/(t^2 + 1)$.
Pour 2) le calcul coince et, d'après Geogebra, seule une partie de …

Lexique

Fonction en escalier

[Définition] :
  • Une fonction \(\varphi: \left[a,b\right]\to\mathbb{R}\) est une fonction en escalier sur le segment \(\left[a,b\right]\) s’il existe une subdivision \(\tau : a=x_0<\dots<x_n=b\) du segment \(\left[a,b\right]\) telle que \(\varphi\) est constante sur chaque intervalle \(\left]x_k,x_{k+1}\right[\) \[\forall k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket, \quad \exists c_k\in\mathbb{R}, \quad \forall x\in\left]x_k,x_{k+1}\right[, \quad \varphi\left(x\right)=c_k\]

  • La subdivision \(\tau\) est dite subordonnée à la fonction \(\varphi\).

  • On notera \(\mathscr E\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)\) l’ensemble des fonctions en escalier sur \([a,b]\) à valeurs réelles.

Guide pour les auteures et auteurs de
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