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Unités de ${\Bbb Q}[\sqrt2,\sqrt{11}]$

20 mai 2022 20:26 — Par noradan

Je m'intéresse aussi au groupe des unités de ce corps.
Comme $K=\Bbb Q[\alpha]$ avec $\alpha=\frac{\sqrt2(1+\sqrt{11})}2$ qui vérifie $X^4-12X^2+25=0$, on a $r_1=2,\:r_2=1$ et donc le groupe des unités est de rang 2.
Mais on dispose des 3 unités fondamentales des corps intermédiaires:
$1+\sqrt2$ pour $\Bbb Q[\sqrt2]$
$10+3\sqrt{11}$ pour $\Bbb Q[\sqrt{11}]$ et accrochez-vous !
$197+42\sqrt{22}$ pour $\Bbb Q[\sqrt{22}]$ (merci Python pour le calcul parce que celle-là ... on peut tatonner un moment !)

Toujours est-il que puisque le rang vaut 2, ces trois unités sont liées:

Comment obtenir une relation de liaison ?

Conséquences du théorème des noyaux itérés

20 mai 2022 20:18 — Par Tony Schwarzer

$\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}$Bonjour,
Soit $E$ un $\mathbb{K}$ espace vectoriel de dimension $(p+1)n$ avec $p\geq 2$. Soit $f\in \mathcal{L}(E)$ tel que $f^3=0$ et $\rg(f)=p \times n$. Il faut montrer que $\rg(f^2)=n$. Je ne comprends pas en quoi c'est une conséquence du théorème des noyaux itérés.

De la même façon, si on se donne un endomorphisme $u\in \mathcal{L}(E)$ (ici $E$ est de dimension quelconque) tel que $\dim(\ker(u))=1$. Montrer que pour tout $k \leq \dim(E)$, $\dim(\ker(u^k)) = k$. Je ne comprends pas non plus en quoi c'est une conséquence du théorème des noyaux.

En effet, le théorème des noyaux itérés nous dit que …

Comparaison série intégrale

20 mai 2022 20:14 — Par OShine

Bonsoir,
Je bloque sur le passage encadré en rouge, sur la démonstration du corollaire.

Je ne comprends pas non plus à quoi sert le deuxième point de la démonstration du corollaire à partir de : "comme $f$ est positive" car l'équivalence est déjà montrée au premier point...




Intégrale inégalité du jeudi soir

20 mai 2022 19:50 — Par etanche

Bonjour
$E$ l’ensemble $f$ fonctions de classe $C^2$ de [0;1] dans $R$ avec $f(0)=f’(0)=f(1)=f’(1)=0$.

Montrer qu’il existe une constante $k>0$ telle que pour tout $f \in E$ on a
$$\int_{0}^{1}f^2(x) dx \leq k\int_{0}^{1} f’’^2(x) dx.$$
Trouver la meilleure constante $k>0$.
Merci.

Inégalité EDP

20 mai 2022 19:49 — Par Barjovrille

Bonjour, je bloque sur la question suivante.
Soit $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ un domaine régulier borné. Soit $T>0$. Soit $u_0 \in L^2$.
Soit $b \in L^{\infty}(]0,T[ \times \Omega)^N$, soit $c \in L^{\infty}(]0,T[ \times \Omega)$.
On pose l'équation  dans $]0,T[ \times \Omega$
$\partial_{t} u+b \cdot \nabla u+c u-\Delta u=0$ (le point est un produit scalaire)
$u|_{\partial \Omega} =0$
$u|_{t=0}=u_0$
Montrer que si $u \in C^1([0,T],C^2(\Omega)) $  est une solution de l'équation alors on a :
$\frac{d}{d t}\|u(t)\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\int_{\Omega}|\nabla u(t, x)|^{2} d x \leq\left(2\|c\|_{\infty}+\|b\|_{\infty}\right)\|u(t)\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}$.
J'ai essayé de multiplier l'équation par $u$ et de faire des ipp en espace mais je n'arrive pas à obtenir …

Lexique

Condition nécessaire du premier ordre

[Théorème] :
Si \(x\) est un minimum relatif de \(f\) et si \(f\) est différentiable en \(x\), alors la différentielle de \(f\) en \(x\) est nulle.

Guide pour les auteures et auteurs de
Les-Mathematiques.net

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