Les derniers exercices
Articles
Forum
![Matrice complexe de rang 1 et inverse21 janvier 2022 01:59 — Par OShine BonsoirJe bloque à la question $d$. Je ne vois pas le lien avec les question précédente.La question $1$ est évidente sur un dessin d'une matrice quelconque, mais ce n'est pas simple à formaliser.a) Soit $H=(h_{ij})$ une matrice de $M_n(\C)$ de rang $1$. Montrons qu'il existe $A \in M_{n1} (\C)$ et $B \in M_{1n}(\C)$ tel que $H=AB$.Pour tout $j \in [|1,n|]$ notons $C_j(H)$ la j-ième colonne de $H$.On a $\dim Vect( C_1(H), C_2(H), \cdots, C_n(H))=1$ donc il existe un élément non nul de $M_{n1} (\C)$ que l'on peut noter $A=(c_1 \ c_2 \ \cdots \ c_n)^T$ tel …](/vanilla/index.php?p=/discussion/2328789/Bonsoir<br>Je bloque à la question $d$. Je ne vois pas le lien avec les question précédente.<br><br>La question $1$ est évidente sur un dessin d'une matrice quelconque, mais ce n'est pas simple à formaliser.<br>a) Soit $H=(h_{ij})$ une matrice de $M_n(\C)$ de rang $1$. Montrons qu'il existe $A \in M_{n1} (\C)$ et $B \in M_{1n}(\C)$ tel que $H=AB$.<br>Pour tout $j \in [|1,n|]$ notons $C_j(H)$ la j-ième colonne de $H$.<br>On a $\dim Vect( C_1(H), C_2(H), \cdots, C_n(H))=1$ donc il existe un élément non nul de $M_{n1} (\C)$ que l'on peut noter $A=(c_1 \ c_2 \ \cdots \ c_n)^T$ tel que : $Vect( C_1(H), C_2(H), \cdots, C_n(H)) = Vect(A)$.<br>Donc $\forall j \in [|1,n|] \ \exists \ell_j \in \C \ C_j(H)= \ell_j A$<br>Posons $B=(\ell_1 \ \ell_2 \ \cdots \ \ell_n)$. $B$ est un élément non nul de $M_{1n}(\C)$ car si toutes les lignes sont nulles $H$ est de rang nul ce qui est impossible.<br>Donc $\forall j \in [|1,n|] \ \forall i \in [|1,n|] \ \ \ C_j(H)= \ell_j A= l_j c_i =c_i \ell_j $ <br>Donc $\boxed{H=AB}$<br><br>b) On a : $H^2 = ABAB$ et par associativité du produit matriciel $H^2=A(BA)B$. Or $BA$ est un scalaire ici un complexe, donc il existe $\lambda \in \C$ tel que $\boxed{H^2 = \lambda H}$<br>Montrons que $\lambda = Tr(H)$.<br>On a $\lambda= BA \in \C$ donc $\lambda = Tr(BA)= Tr(AB)=Tr(H)$<br>On a montré $\boxed{H^2 =Tr(H) H}$<br><br>c) $P(X)=X^2 -tr(H)X=X(X-tr(H))$ est un polynôme annulateur de $H$. Or $\dim \ker H=n-1$ la valeur propre $0$ est de multiplicité $n-1$. Le polynôme caractéristique étant de degré $n$, forcément $tr(H)$ est une valeur propre.<br>Finalement $\boxed{\chi_H(X)=X^{n-1} (X-tr(H))}$<br><img width="545" alt="" src="https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/j0/3gue0gq5knie.png" height="434" title="Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/j0/3gue0gq5knie.png"><br>#latest){kind=link}
Matrice complexe de rang 1 et inverse
21 janvier 2022 01:59 — Par OShine
Bonsoir
Je bloque à la question $d$. Je ne vois pas le lien avec les question précédente.
La question $1$ est évidente sur un dessin d'une matrice quelconque, mais ce n'est pas simple à formaliser.
a) Soit $H=(h_{ij})$ une matrice de $M_n(\C)$ de rang $1$. Montrons qu'il existe $A \in M_{n1} (\C)$ et $B \in M_{1n}(\C)$ tel que $H=AB$.
Pour tout $j \in [|1,n|]$ notons $C_j(H)$ la j-ième colonne de $H$.
On a $\dim Vect( C_1(H), C_2(H), \cdots, C_n(H))=1$ donc il existe un élément non nul de $M_{n1} (\C)$ que l'on peut noter $A=(c_1 \ c_2 \ \cdots \ c_n)^T$ tel …
Mathematica, une aventure au cœur de nous-mêmes
21 janvier 2022 01:15 — Par Math Coss
Vous avez peut-être raté la parution de Mathematica, Une aventure au cœur de nous-mêmes par David Bessis (Seuil).
Il était hier « L'Invité des matins » sur France Culture.
Un petit voyage de la géométrie à la géométrie différentielle
21 janvier 2022 01:08 — Par pappus
Voici la figure sur laquelle il faut méditer.
Amicalement
pappus
![](/vanilla/index.php?p=/discussion/2328685/Voici la figure sur laquelle il faut méditer.
<br>Amicalement<br>pappus
<br><img src="https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/6i/gtxq370riivl.gif" alt=""><br><br>#latest)
Une intégrale pour bien commencer l'année
20 janvier 2022 22:56 — Par Fin de partie
Je cherche à montrer que $\displaystyle \int_0^{\dfrac{\pi}{2}} \ln\Big(\sin t\left(\sqrt{\sin t}+\sqrt{1+\sin t}\right)\Big)dt=0$
C'est une intégrale rencontrée, en quelque sorte, dans un autre calcul d'intégrale que je communiquerai ultérieurement.
DL et dérivabilité
20 janvier 2022 22:56 — Par Kerphi
Bonsoir,
Je suis tombé sur l'énoncé ci-dessous, donné à des étudiants de L1.
Je n'arrive pas bien à comprendre l'articulation des questions 3) et 4). Il m'étonne de devoir déduire la dérivabilité à partir d'un DL... Ne faut-il pas déjà savoir que la fonction $\hat{f}$ est au moins deux fois dérivable en un point pour parler de DL à l'ordre 2 en ce point ?
Merci d'avance de m'éclairer là-dessus !
Merci d'avance de m'éclairer là-dessus !
 et 4). Il m'étonne de devoir déduire la dérivabilité à partir d'un DL... Ne faut-il pas déjà savoir que la fonction $\hat{f}$ est au moins deux fois dérivable en un point pour parler de DL à l'ordre 2 en ce point ? <br><br>Merci d'avance de m'éclairer là-dessus !<br><br><br><img alt="" src="https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/6m/489cxyuezclv.jpeg" title="Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/6m/489cxyuezclv.jpeg"><br><br><br></div>#latest "Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/6m/489cxyuezclv.jpeg")
Lexique
Endomorphisme symétrique associé à la forme quadratique \(q\)
[Définition] :
\(f\) défini comme en corollaire [c334] est appelé endomorphisme symétrique associé à la forme quadratique \(q\).