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Point de Kosnita et symétrie axiale

21 juin 2024 21:42 — Par Bouzar

Bonjour,
Soit un triangle $ABC$ inscrit dans un cercle $(O)$.
Les tangentes en $B$ et $C$ à $(O)$ se coupent en $P$.
Soient $H$ l'orthocentre du triangle $ABC$, et $AD, BE, CF$ les hauteurs.
Soit $K$ le point de Kosnita du triangle $ABC$.

Questions :
1) Montrer que le symétrique $K'$ de $K$ par rapport à $BC$ se situe sur la droite $PH.$
2) Montrer que $CP \parallel DE, \quad BP \parallel DF, \quad AH \parallel OP \parallel KK'.$
3) Montrer que les points $B,C,O,P$ sont cocycliques.
4) Montrer que le cercle $\odot(CKK')$ est tangent intérieurement au cercle $\odot(BCFE).$
Amicalement

Orthogonal d'un espace de fonctions

21 juin 2024 21:12 — Par romziath

Bonjour bonjour
Je voudrais savoir quel est l'orthogonal des espaces $L^2(\Omega)$, $H^1(\Omega)$ et celui de $H(rot)\cap H(div)$.

Merci d'avance 

Un résultat de Gakopoulos

21 juin 2024 20:37 — Par Bouzar

Bonjour,
Soit $ABC$ un triangle, $H$ son orthocentre, $Le$ son point de Lemoine.
Soient $E, F, P, Q$ quatre points tels que $EF = 3 PQ.$
Question : Montrer que $\dfrac{SE \times RC}{FS \times BR} =2.$
Amicalement

Un théorème de mathématique mis à mal par des élèves de 6è

21 juin 2024 20:21 — Par stfj

Bonjour,
J'ai découvert récemment un théorème attribué ici à Eugène Catalan et redécouvert par Darij Grinberg.
Il s'énonce ainsi :
_________________________
Théorème.- Soit $ABC$ un triangle, $C'$ le symétrique de $C$ par rapport à $AB$, $B'$ celui de $B$ par rapport à $AC$, $O $ le centre de son cercle circonscrit. Alors $B'C,C'B$ et $AO$ sont concourantes.
____________________________
@Jean-Louis Ayme me pardonnera, j'en suis sûr, la petite anecdote qui suit: je propose les tracés à des élèves de 6è : c'est l'occasion de revoir la symétrie par rapport à une droite, le vocabulaire "concourantes", etc. Or, deux élèves m'annoncent …

Parabole(s) et foyer(s).

21 juin 2024 19:45 — Par cailloux

Bonjour à tous,
Comme chacun sait, une parabole peut être définie par l'intersection d'un cône droit de révolution et d'un plan parallèle à une de ses génératrices. Son foyer n'a à priori rien de particulier.
On projette orthogonalement cette parabole sur un plan perpendiculaire à l'axe du cône.
On obtient une nouvelle parabole dont le foyer est l'intersection de l'axe du cône et du plan.
Analytiquement, ce dernier point ne pose pas de problème. Mais ce résultat est si particulier que j'imagine qu'il existe une démonstration très simple sans calculs, Je n'ai pas su mettre le doigt dessus.
Une figure …

Lexique

De classe \(C^1\)

[Définition] :
Soient \(E\) et \(F\) des espaces vectoriels normés et \(U\) ouvert de \(E\). \(f\) de \(U\) dans \(F\) est de classe \(C^1\) si elle est différentiable et si l’application qui à \(x\) associe la différentielle de \(f\) en \(x\) est continue (voir [thetoposurLEF] pour un rappel de la topologie usuelle sur \({\cal L}(E,F)\)).

Guide pour les auteures et auteurs de
Les-Mathematiques.net

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