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Exercice

Anneau \(\mathbb{Z}\left[\sqrt 7\right]\)

18 novembre 2022 16:00 — Par
  • Emmanuel Vieillard-Baron
  • Alain Soyeur
  • François Capaces

  1. On rappelle (exercice
    [sous_groupe_de_R] p. [sous_groupe_de_R]) que tout sous-groupe de \(\left(\mathbb{R},+\right)\) non réduit à \(\left\{0\right\}\) est soit de la forme \(a\mathbb{Z}\)\(a\in\mathbb{R}_+^*\), soit dense dans \(\mathbb{R}\).

    Soit \(H\) un sous-groupe de \((\mathbb R^*, \times)\).
    Démontrer que

    • soit : \(\exists a\geqslant1:\, H = \left\lbrace a^n, n\in\mathbb Z\right\rbrace\),

    • soit : \(\forall (\alpha,\beta)\in\mathbb R_+^2\), \((\alpha<\beta) \Longrightarrow (]\alpha,\beta[\cap H \neq \varnothing)\).

    (On pourra utiliser le logarithme.)

  2. Dans toute cette partie, \(\mathcal A=\left\{ a+b\sqrt 7~|~ (a,b)\in \mathbb{Z}^2\right\}\). On admet que \(\sqrt7\notin\mathbb Q\). (voir l’exercice [racine7_irrationnel] p. [racine7_irrationnel].)

    1. Démontrer que pour tout \(x\in\mathcal A\), il existe un unique couple \((a,b)\in \mathbb Z^2\) tel que \(x = a+b\sqrt7\).

    2. Démontrer que \(\mathcal A\) est un sous-anneau de \((\mathbb R, +,\times)\).

    3. Démontrer que l’ensemble \(U(\mathcal A)\) des éléments inversibles de \(\mathcal A\) est un sous-groupe de \((\mathbb R^*, \times)\).

  3. Pour \(x = a+b\sqrt7\in \mathcal A\), on note \(\overline x\) le réel \(a-b\sqrt7\) et on note \(N(x) = x\overline x = a^2 - 7b^2\).

    1. Expliquer rapidement pourquoi \(\overline x\) et \(N(x)\) sont bien définis.

    2. Démontrer que \(\forall(x,y)\in\mathcal A^2\), \(N(xy) = N(x)N(y)\).
      On admet que l’équation \(N(x) = -1\) n’admet pas de solution dans \(\mathcal A\). Voir à ce sujet l’exercice [residu_quadratique] p. [residu_quadratique].

    3. Démontrer que \(\forall x\in\mathcal A\), \(\left(x\in U(\mathcal A) \Longleftrightarrow (N(x) = 1)\right)\). Le cas échéant, que vaut l’inverse de \(x\) ?

    1. Soit \(a+b\sqrt7\in U(\mathcal A)\). Démontrer que (\(a\geqslant 0\) et \(b\geqslant 0\))\(\Longleftrightarrow (a+b\sqrt7\geqslant1)\).

    2. Démontrer que \(U(\mathcal A)\) n’est pas réduit à \(\{-1,1\}\).

    3. Démontrer que l’intervalle \(\left] 1,3\sqrt7\right[\) ne contient pas d’éléments de \(U(\mathcal A)\).

    4. Démontrer qu’il existe un élément de \(u\) de \(U(\mathcal A)\cap]1,+\infty[\) tel que \[U(\mathcal A) = \left\lbrace \varepsilon u^n ; \varepsilon = \pm1 \textrm{ et } n\in\mathbb Z \right\rbrace .\] Le nombre \(u\) évidemment (?) unique est appelé unité principale de \(\mathcal A\).

  4. On pose pour tout \(n\in\mathbb N\), \(u^n = a_n + b_n\sqrt7\).

    1. Démontrer que les suites \((a_n)_{n\in\mathbb N}\) et \((b_n)_{n\in\mathbb N}\) sont positives et strictement croissantes.

    2. En déduire la valeur de \(u\).

    3. Donner dans l’ordre croissant des valeurs de \(x\), les quatre plus petites solutions dans \(\mathbb N^*\times\mathbb N^*\) de l’équation dite de Pell-Fermat : \[x^2 - 7y^2 = 1.\]

  5. On pose \(\alpha_n = a_{2^n}\) et \(\beta_n = b_{2^n}\).

    1. Établir des relations de récurrence entre les \(\alpha_{n+1}\) et \(\beta_{n+1}\) d’une part et les \(\alpha_{n}\) et \(\beta_{n}\) d’autre part.

    2. Démontrer que \(\dfrac{a_n}{b_n}\) converge vers une limite finie \(\lambda\) que l’on déterminera.

    3. Démontrer que \(\forall n\in\mathbb N\), \[\varepsilon_n = \left\vert \dfrac{\alpha_n}{\beta_n} - \lambda \right\vert \leqslant \dfrac{1}{2\sqrt7\,\beta_n^2}.\]

    4. Donner une majoration explicite de l’erreur \(\varepsilon_n\) en fonction de \(n\).
      (On pourra, faute de mieux, démontrer que \(\forall n\in\mathbb N^*\), \(\alpha_{n}\geqslant3^{2^n}\) et \(\beta_{n}\geqslant3^{2^n}\).)

    5. En déduire une approximation rationnelle de \(\sqrt7\) à \(10^{-20}\) près.

      Voir aussi exercice [Z_racine_deux] p. [Z_racine_deux].

Forum

Fonctions à trouver samedi 3 juin

3 juin 2023 19:00 — Par etanche

Bonjour 
$a$ un réel fixé, déterminer toutes les fonctions $f$ de $[0;1]$ dans $\R$ continue en $0$ et en $1$

telles que $\forall x \in [0;1]$, $f(x^2)+2af(x)=(x+a)^2$ 
Merci 
12406 amm 
Prolongement proposer une version du problème avec du $x^3$ 

Exercice suites/fonctions

3 juin 2023 18:58 — Par Ousskaram

Salut , notre prof nous a demandé de faire cet exercice, d'ailleurs, j'ai réussi à résoudre tout l'exercice sauf la dernière question, des idées svp !
 L'exo: Soit la fonction f(x)=√sin(x)+cos(x)
1) déterminer le domaine de définition Df
2) Variations.
3) soit la suite
Un={ f(n) si n appartient à Df
           0  sinon.
 a) Un bornée ?
 b) est-ce que Un est convergente ? Justifier.

Conseil sur des références à des ouvrages

3 juin 2023 18:53 — Par MIAMI1248

Bonjour/bonsoir
Je suis à la recherche de recommandations pour des livres de mathématique.
J’ai un humble niveau de sup et je veux continuer un apprentissage en autodidacte. Pour ce faire, j’aurais besoin de références pour un cours expliqué et pas seulement une énumération de propriétés (livres du style les ‘’tout-en-un j’intègre’’ de Dunod ).
Le mieux est - pour avoir un cours bien expliqué et introduit - que vous me conseillez un livre par thème (théorie intégration , algèbre linéaire, théorie des nombres, théorie des groupes, fonction à une/plusieurs variable(s), suites numériques, topologie, un peu de géométrie affine ...).  Je …

Comment construire 2PI/360

3 juin 2023 18:47 — Par lcm1789

Le polygone régulier à 360 côtés n'est pas constructible à la règle et au compas. (Thm de Gauss)
On peut facilement avoir une construction approchée en utilisant une approximation de Pi et le développement du cosinus mais il s'agit là d'une construction bien lourde. Or on ne veut rien de moins que construire simplement un rapporteur gradué en degrés.
Autrement dit que répondre à un sixième qui demanderait: comment construit-on un rapporteur? (sous entendu avec des concepts simples)
Merci pour vos idées.

Nombre d'inversions d'une permutation

3 juin 2023 18:29 — Par OShine

Bonsoir

Je bloque totalement à la première question et regarder le début du corrigé ne m'a pas aidé, je ne comprends pas l'idée.
Soit $n>1$ et $\sigma \in \mathfrak{S}_n$.
Le but de l'exercice est de montrer que le nombre d'inversions $inv(\sigma)$ est le nombre minimal $l(\sigma)$ de transpositions du type $(i \ i+1)$ utilisées pour écrire $\sigma$ comme produit de transpositions de ce type.
a) Soit $i \in \{1, \cdots, n-1 \}$. Montrer que : $inv( \sigma \circ (i \ i+1) )=\begin{cases} inv \ \sigma+1 \ \text{si} \ \sigma(i) < \sigma(i+1) \\ inv \ \sigma-1 \ \text{si} \ \sigma(i)> \sigma(i+1) …

Lexique

Série alternée

[Corollaire] :

Si \(u_n=(-1)^n \epsilon_n\) et si \(\epsilon_n\) décroît vers \(0\), alors la série de terme général \(u_n\) converge.

Guide pour les auteures et auteurs de
Les-Mathematiques.net

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