Accueil

Forum

Des applications de Cesàro et/ou Abel et/ou Silverman–Toeplitz

20 janvier 2022 08:38 — Par gebrane

Bonjour à tous et à toutes.

Ce fil a pour objectif de présenter un recueil d'exercices sous formes d'énigmes autour de "Cesàro, Cesàro généralisé, Stolz-Cesàro, Sommations d'Abel et Silverman–Toeplitz". Certaines énigmes sont originales qui viennent de mes discussions sur le forum, d'autres sont classiques ou trouvées sur le net. Vous pouvez aussi enrichir ce forum en ajoutant des énigmes que vous jugez intéressantes sur le thème ( en respectant le numéro alloué à l'énigme), je donnerai avec plaisir un lien dans cette première page ciblant l'énigme. Vos propositions de solutions originales vont être gravées dans la mémoire de ceux qui …

Jordanisation matrice

20 janvier 2022 07:46 — Par mohamed1354@gmail.com

$\newcommand{\Vect}{\mathrm{Vect}}$Bonjour, 
J'ai la matrice ci dessous à  jordaniser. 
soit $T=
\begin{pmatrix}
0 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\\
3 & -4 & 3 & -1 & -1 & 0 \\
2 & -8 & 4 & 0 & -4 & -1 \\
-2 & 4 & -2 & 1 & 2 & 0 \\
-2 & 5 & -1 & 0 & 5 & 1 \\
-1 & 3 & -4 & 1 & -3 & 0
\end{pmatrix}
$

J'ai trouvé qu'il y a une seule valeur propre $ \lambda = 1 $. Ensuite j'ai calculé  …

Tangentes communes à deux cercles

20 janvier 2022 07:39 — Par Piteux_gore

Bonjour,
J'ai deux cercles $(C), (C')$ donnés par leurs équations cartésiennes et je veux trouver leurs tangentes communes.
J'ai pensé à la stratégie suivante :
-- écrire l'équation générique d'une tangente à $(C)$ en $T(a, b)$,
-- écrire l'équation générique d'une tangente à $(C')$ en $T'(a', b')$, 
-- écrire que les deux droites sont confondues, donc que leurs coefficients sont proportionnels.
Y a-t-il plus rapide ?
A+

Limite d'une martingale et loi du 0-1

20 janvier 2022 07:00 — Par Raro

Bonjour, considérons le problème suivant:

Soit $(X_k)_k$ une suite de v.a.r.i.i.d et $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ une fonction borélienne tel que $f(X_1,X_2) \in L^1$ et pour tout $(x,y) \in \mathbb{R}^2,f(x,y)=f(y,x).$ Soit pour $n \geq 2,Y_n=\frac{2}{n(n-1)}\sum_{ 1 \leq p<q \leq n}f(X_p,X_q)$ et $\mathcal{F}_n=\sigma(Y_n,Y_{n+1},...)$.
J'ai reussi a prouver que pour $n \geq 2, Y_n=E[f(X_1,X_2)\mid \mathcal{F}_n],$ en utilisant la propriété sur $f$ et qu'elle converge p.s. et dans $L^1$ vers $Y_{\infty}:=E[f(X_1,X_2)|\bigcap_n\mathcal{F}_n]$

Il ne reste qu'à trouver la limite et qui doit etre égale à $E[f(X_1,X_2)]$.
Alors comment prouver que $Y_{\infty}$ est p.s. égale à une v.a.r $U$ et tel que $U$ est $\bigcap_{n}\sigma(X_n,X_{n+1},....)$-mesurable? Faut-il …

Lexique

Équation polaire d’une droite ne passant pas par le pôle

[Proposition] :
Une droite \(D\) ne passant pas par le pôle \(O\) du repère polaire \(\mathscr R_\theta\) admet une équation polaire du type \[\boxed{r=\dfrac{p}{\cos\left(\theta-\theta_0\right)}}\]\(p=d\left(O,D\right)\) et où \(\theta_0=\left(\widehat{\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{OH}}\right)~\left[2\pi\right]\), \(H\) étant le projeté orthogonal de \(O\) sur \(D\). Réciproquement, une telle équation est celle d’une droite ne passant pas par le pôle \(O\) de \(\mathscr R_\theta\).

Guide pour les auteures et auteurs de
Les-Mathematiques.net

En savoir plus
;
Success message!