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Exercice

Exercice 1552

18 novembre 2022 16:00 — Par

Emmanuel Vieillard-Baron
Alain Soyeur
François Capaces

Soit $(A,+,\times)$ un anneau tel que \[\forall (x,y)\in A^2, \quad(xy)^2 = x^2y^2\]

Montrer que $\forall (x,y)\in A^2$, $xyx=x^2y=yx^2$.
En déduire que $A$ est un anneau commutatif .

Exercice

Exercice 1553

18 novembre 2022 16:00 — Par

Emmanuel Vieillard-Baron
Alain Soyeur
François Capaces

Soit $f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ un morphisme de l’anneau $\mathbb{R}$ vers lui-même.

Montrer que l’application $f$ est croissante ;
Calculer $f(r)$ lorsque $r \in \mathbb{Q}$ ;
Soit un réel $x \in \mathbb{R}$. Montrer qu’il existe une suite de rationnels $(r_n)$ croissante et une suite de rationnels $(q_n)$ décroissante qui convergent vers $x$ ;
En déduire tous les morphismes d’anneaux de $\mathbb{R}$ vers lui-même.

Exercice

Anneau $\mathbb{Z}\left[\sqrt 7\right]$

18 novembre 2022 16:00 — Par

Emmanuel Vieillard-Baron
Alain Soyeur
François Capaces

On rappelle (exercice [sous_groupe_de_R] p. [sous_groupe_de_R]) que tout sous-groupe de $\left(\mathbb{R},+\right)$ non réduit à $\left\{0\right\}$ est soit de la forme $a\mathbb{Z}$ où $a\in\mathbb{R}_+^*$, soit dense dans $\mathbb{R}$.

Soit $H$ un sous-groupe de $(\mathbb R^*, \times)$.
Démontrer que
- soit : $\exists a\geqslant1:\, H = \left\lbrace a^n, n\in\mathbb Z\right\rbrace$,
- soit : $\forall (\alpha,\beta)\in\mathbb R_+^2$, $(\alpha<\beta) \Longrightarrow (]\alpha,\beta[\cap H \neq \varnothing)$.
(On pourra utiliser le logarithme.)
Dans toute cette partie, $\mathcal A=\left\{ a+b\sqrt 7~|~ (a,b)\in \mathbb{Z}^2\right\}$. On admet que $\sqrt7\notin\mathbb Q$. (voir l’exercice [racine7_irrationnel] p. [racine7_irrationnel].)
1. Démontrer que pour tout $x\in\mathcal A$, il existe un unique couple $(a,b)\in \mathbb Z^2$ tel que $x = a+b\sqrt7$.
2. Démontrer que $\mathcal A$ est un sous-anneau de $(\mathbb R, +,\times)$.
3. Démontrer que l’ensemble $U(\mathcal A)$ des éléments inversibles de $\mathcal A$ est un sous-groupe de $(\mathbb R^*, \times)$.
Pour $x = a+b\sqrt7\in \mathcal A$, on note $\overline x$ le réel $a-b\sqrt7$ et on note $N(x) = x\overline x = a^2 - 7b^2$.
1. Expliquer rapidement pourquoi $\overline x$ et $N(x)$ sont bien définis.
2. Démontrer que $\forall(x,y)\in\mathcal A^2$, $N(xy) = N(x)N(y)$.
  On admet que l’équation $N(x) = -1$ n’admet pas de solution dans $\mathcal A$. Voir à ce sujet l’exercice [residu_quadratique] p. [residu_quadratique].
3. Démontrer que $\forall x\in\mathcal A$, $\left(x\in U(\mathcal A) \Longleftrightarrow (N(x) = 1)\right)$. Le cas échéant, que vaut l’inverse de $x$ ?
1. Soit $a+b\sqrt7\in U(\mathcal A)$. Démontrer que ($a\geqslant 0$ et $b\geqslant 0$)$\Longleftrightarrow (a+b\sqrt7\geqslant1)$.
2. Démontrer que $U(\mathcal A)$ n’est pas réduit à $\{-1,1\}$.
3. Démontrer que l’intervalle $\left] 1,3\sqrt7\right[$ ne contient pas d’éléments de $U(\mathcal A)$.
4. Démontrer qu’il existe un élément de $u$ de $U(\mathcal A)\cap]1,+\infty[$ tel que \[U(\mathcal A) = \left\lbrace \varepsilon u^n ; \varepsilon = \pm1 \textrm{ et } n\in\mathbb Z \right\rbrace .\] Le nombre $u$ évidemment (?) unique est appelé unité principale de $\mathcal A$.
On pose pour tout $n\in\mathbb N$, $u^n = a_n + b_n\sqrt7$.
1. Démontrer que les suites $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ et $(b_n)_{n\in\mathbb N}$ sont positives et strictement croissantes.
2. En déduire la valeur de $u$.
3. Donner dans l’ordre croissant des valeurs de $x$, les quatre plus petites solutions dans $\mathbb N^*\times\mathbb N^*$ de l’équation dite de Pell-Fermat : \[x^2 - 7y^2 = 1.\]
On pose $\alpha_n = a_{2^n}$ et $\beta_n = b_{2^n}$.
1. Établir des relations de récurrence entre les $\alpha_{n+1}$ et $\beta_{n+1}$ d’une part et les $\alpha_{n}$ et $\beta_{n}$ d’autre part.
2. Démontrer que $\dfrac{a_n}{b_n}$ converge vers une limite finie $\lambda$ que l’on déterminera.
3. Démontrer que $\forall n\in\mathbb N$, \[\varepsilon_n = \left\vert \dfrac{\alpha_n}{\beta_n} - \lambda \right\vert \leqslant \dfrac{1}{2\sqrt7\,\beta_n^2}.\]
4. Donner une majoration explicite de l’erreur $\varepsilon_n$ en fonction de $n$.
  (On pourra, faute de mieux, démontrer que $\forall n\in\mathbb N^*$, $\alpha_{n}\geqslant3^{2^n}$ et $\beta_{n}\geqslant3^{2^n}$.)
5. En déduire une approximation rationnelle de $\sqrt7$ à $10^{-20}$ près.
  
  Voir aussi exercice [Z_racine_deux] p. [Z_racine_deux].

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Marches aléatoires

26 juin 2022 15:30 — Par

CultureMath
Emmanuel Vieillard-Baron
Victor Rabiet

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Avancement des corrections

10 novembre 2021 18:35 — Par

Emmanuel Vieillard-Baron

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Guide pour les auteures et auteurs

24 novembre 2020 23:03 — Par

Emmanuel Vieillard-Baron

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Partenariat avec Culturemath

24 novembre 2020 22:26 — Par

Emmanuel Vieillard-Baron

Forum

Fonctions à trouver samedi 3 juin

3 juin 2023 19:00 — Par etanche

Bonjour
$a$ un réel fixé, déterminer toutes les fonctions $f$ de $[0;1]$ dans $\R$ continue en $0$ et en $1$

telles que $\forall x \in [0;1]$, $f(x^2)+2af(x)=(x+a)^2$
Merci
12406 amm
Prolongement proposer une version du problème avec du $x^3$

Exercice suites/fonctions

3 juin 2023 18:58 — Par Ousskaram

Salut , notre prof nous a demandé de faire cet exercice, d'ailleurs, j'ai réussi à résoudre tout l'exercice sauf la dernière question, des idées svp !
L'exo: Soit la fonction f(x)=√sin(x)+cos(x)
1) déterminer le domaine de définition Df
2) Variations.
3) soit la suite
Un={ f(n) si n appartient à Df
0 sinon.
a) Un bornée ?
b) est-ce que Un est convergente ? Justifier.