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Démonstration du théorème de Rouché

25 septembre 2022 08:51 — Par svado

Bonjour
Je bute sur un enchainement dans la démonstration du théorème de Rouché.
U simplement connexe
f et g deux fonction méromorphes sur U avec un ensemble fini F de pôles et de zéros. 
Soit gamma un chemin fermé à image dans U\F délimitant un compact K.
Si | f(z) - g(z) | < | g(z) | sur gamma alors 
Zf - Pf = Zg - Pg.

Dans la démonstration il y a construction d'une fonction h = f / g
f et g ne s'annulant pas sur gamma on a sur gamma …

Demi-tour, espace euclidien

25 septembre 2022 08:48 — Par OShine

Bonjour,

Je bloque à la première question. Comment on fait pour reconnaître un endomorphisme ? Je sais reconnaître une symétrie, un projecteur, une homothétie, mais ici je ne vois pas. 


Défi du week-end

25 septembre 2022 08:31 — Par raoul.S

Je propose ce petit défi.
Soit $(E,\|.\|)$ un espace normé et $B\subset E$ un sous-ensemble borné vérifiant : 
1) $\ 0\in B$
2) $\ \forall b\in B,\ -b\in B$
Montrer que si $f:B\to B$ est une isométrie surjective alors $f(0)=0$.
Application : toute isométrie surjective de la boule unité dans elle même fixe 0.

Formalisation d'une non Riemann-intégrabilité

25 septembre 2022 08:22 — Par topopot

Bonjour,

Notons $f$ la restriction l'indicatrice $\mathbf{1}_{\Q}$ à $[0,1]$. Il est communément montré que $f$ n'est pas Riemann-intégrable grâce aux sommes de Darboux. Toutefois, j'aimerais le montrer avec la définition de la Riemann-intégrabilité. 

Mais il me manque un petit passage que je sais vrai informellement mais qui me gène si l'on me demande de justifier complètement. 

Voici le passage qui m'embête : 
Si $(\varphi,\Psi)\in\mathrm{Esc}([0,1],\mathbf{R})^2$ et $\varphi-\Psi\leqslant f\leqslant\varphi+\Psi$, alors $\varphi-\Psi\leqslant 0\leqslant 1\leqslant \varphi+\Psi$ presque partout (i.e. sauf en nombre fini de points de $[0,1]$).

Je sais que c'est à cause du fait que $f$ va de $0$ à $1$ une infinité …

Lexique

Branche infinie

[Définition] :
On dit que l’arc \((I,\overrightarrow{F})\) possède une branche infinie en \(t_0\) lorsque \(\lVert \overrightarrow{F}(t) \rVert_{ } \xrightarrow[t \rightarrow t_0]{} +\infty\).

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