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Exercice

Anneau \(\mathbb{Z}\left[\sqrt 7\right]\)

18 novembre 2022 16:00 — Par
  • Emmanuel Vieillard-Baron
  • Alain Soyeur
  • François Capaces

  1. On rappelle (exercice
    [sous_groupe_de_R] p. [sous_groupe_de_R]) que tout sous-groupe de \(\left(\mathbb{R},+\right)\) non réduit à \(\left\{0\right\}\) est soit de la forme \(a\mathbb{Z}\)\(a\in\mathbb{R}_+^*\), soit dense dans \(\mathbb{R}\).

    Soit \(H\) un sous-groupe de \((\mathbb R^*, \times)\).
    Démontrer que

    • soit : \(\exists a\geqslant1:\, H = \left\lbrace a^n, n\in\mathbb Z\right\rbrace\),

    • soit : \(\forall (\alpha,\beta)\in\mathbb R_+^2\), \((\alpha<\beta) \Longrightarrow (]\alpha,\beta[\cap H \neq \varnothing)\).

    (On pourra utiliser le logarithme.)

  2. Dans toute cette partie, \(\mathcal A=\left\{ a+b\sqrt 7~|~ (a,b)\in \mathbb{Z}^2\right\}\). On admet que \(\sqrt7\notin\mathbb Q\). (voir l’exercice [racine7_irrationnel] p. [racine7_irrationnel].)

    1. Démontrer que pour tout \(x\in\mathcal A\), il existe un unique couple \((a,b)\in \mathbb Z^2\) tel que \(x = a+b\sqrt7\).

    2. Démontrer que \(\mathcal A\) est un sous-anneau de \((\mathbb R, +,\times)\).

    3. Démontrer que l’ensemble \(U(\mathcal A)\) des éléments inversibles de \(\mathcal A\) est un sous-groupe de \((\mathbb R^*, \times)\).

  3. Pour \(x = a+b\sqrt7\in \mathcal A\), on note \(\overline x\) le réel \(a-b\sqrt7\) et on note \(N(x) = x\overline x = a^2 - 7b^2\).

    1. Expliquer rapidement pourquoi \(\overline x\) et \(N(x)\) sont bien définis.

    2. Démontrer que \(\forall(x,y)\in\mathcal A^2\), \(N(xy) = N(x)N(y)\).
      On admet que l’équation \(N(x) = -1\) n’admet pas de solution dans \(\mathcal A\). Voir à ce sujet l’exercice [residu_quadratique] p. [residu_quadratique].

    3. Démontrer que \(\forall x\in\mathcal A\), \(\left(x\in U(\mathcal A) \Longleftrightarrow (N(x) = 1)\right)\). Le cas échéant, que vaut l’inverse de \(x\) ?

    1. Soit \(a+b\sqrt7\in U(\mathcal A)\). Démontrer que (\(a\geqslant 0\) et \(b\geqslant 0\))\(\Longleftrightarrow (a+b\sqrt7\geqslant1)\).

    2. Démontrer que \(U(\mathcal A)\) n’est pas réduit à \(\{-1,1\}\).

    3. Démontrer que l’intervalle \(\left] 1,3\sqrt7\right[\) ne contient pas d’éléments de \(U(\mathcal A)\).

    4. Démontrer qu’il existe un élément de \(u\) de \(U(\mathcal A)\cap]1,+\infty[\) tel que \[U(\mathcal A) = \left\lbrace \varepsilon u^n ; \varepsilon = \pm1 \textrm{ et } n\in\mathbb Z \right\rbrace .\] Le nombre \(u\) évidemment (?) unique est appelé unité principale de \(\mathcal A\).

  4. On pose pour tout \(n\in\mathbb N\), \(u^n = a_n + b_n\sqrt7\).

    1. Démontrer que les suites \((a_n)_{n\in\mathbb N}\) et \((b_n)_{n\in\mathbb N}\) sont positives et strictement croissantes.

    2. En déduire la valeur de \(u\).

    3. Donner dans l’ordre croissant des valeurs de \(x\), les quatre plus petites solutions dans \(\mathbb N^*\times\mathbb N^*\) de l’équation dite de Pell-Fermat : \[x^2 - 7y^2 = 1.\]

  5. On pose \(\alpha_n = a_{2^n}\) et \(\beta_n = b_{2^n}\).

    1. Établir des relations de récurrence entre les \(\alpha_{n+1}\) et \(\beta_{n+1}\) d’une part et les \(\alpha_{n}\) et \(\beta_{n}\) d’autre part.

    2. Démontrer que \(\dfrac{a_n}{b_n}\) converge vers une limite finie \(\lambda\) que l’on déterminera.

    3. Démontrer que \(\forall n\in\mathbb N\), \[\varepsilon_n = \left\vert \dfrac{\alpha_n}{\beta_n} - \lambda \right\vert \leqslant \dfrac{1}{2\sqrt7\,\beta_n^2}.\]

    4. Donner une majoration explicite de l’erreur \(\varepsilon_n\) en fonction de \(n\).
      (On pourra, faute de mieux, démontrer que \(\forall n\in\mathbb N^*\), \(\alpha_{n}\geqslant3^{2^n}\) et \(\beta_{n}\geqslant3^{2^n}\).)

    5. En déduire une approximation rationnelle de \(\sqrt7\) à \(10^{-20}\) près.

      Voir aussi exercice [Z_racine_deux] p. [Z_racine_deux].

Forum

Montrer, démontrer et prouver

21 février 2024 12:45 — Par Amadou

Par exemple, on me demande de prouver que si $F$ et $G$ sont deux sous-espaces vectoriels de $E$, alors $F\cup G$ n'est pas toujours un sous-espace vectoriel $E$.
Et dans une autre version on me demande de démontrer que $F\cup G$ n'est pas toujours un sous-espace vectoriel de $E$.
Deux idées me viennent à l'esprit l'une celle que j'ai apprise dans mon livre la démonstration du théorème suivant : Un espace vectoriel $E$ n'est jamais réunion de deux sous-espaces différents de $E$ et de $\{0\}$. et l'autre celle que j'ai acquis lors d'une explication, c'est-à-dire en considérant …

Point fixe de dérivé 1 (agreg interne leçon 201)

21 février 2024 12:38 — Par Matricule_63

Soit $f$ une fonction numérique $C^1$ définie sur un intervalle $I$ qui admet un point fixe $a\in \mathring{I}$.
Si $|f'(a)<1|$, $a$ est un point fixe "attractif" : il existe un voisinage $V$ de $a$ tel que toute suite vérifiant $u_0 \in V$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ converge.
Si $|f'(a)>1|$, $a$ est un point fixe "répulsif", toute suite vérifiant $u_0 \in I$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ convergeant vers $a$ est nécessairement stationnaire.

Que ce passe-t-il si $|f'(a)=1|$? Si $f=Id$, alors le point fixe $0$ se comporte comme un point fixe répulsif.
Mais je n'arrive pas à trouver d'autres exemples de fonction $f$ …

Bijections affines entre droites

21 février 2024 11:59 — Par pappus

Bonjour à tous
C'est un problème relativement élémentaire qu'on aurait pu trouver dans les Lebossé-Hémery de Troisième ou de Seconde autrefois.
Il est bien qu'on ait vu à peu près toutes les solutions sauf celle de Rescassol par les complexes.
On a vu des solutions élémentaires à la JLA, des solutions barycentriques à la Bouzar, des solutions stratosphériques à la pldx1 puis celle de Gai Requin utilisant les graphes de correspondances affines entre deux droites que je qualifierai de à la Lebossé-Hémery en quoi …

Polynôme pour 2024

21 février 2024 11:51 — Par Arnaud_G

Bonjour à tous
Soit $P\in\mathbb{C}[X]$ avec $\deg(P)=2023$ tel que pour tout $n \in \llbracket 0~;~ 2023 \rrbracket ,\quad P(n)=\dfrac{n}{n+1}$.
Calculer $P(2024)$.

Comment encadrer une formule?

21 février 2024 11:49 — Par stfj

Bonjour, 
La question a dû être mille fois posée mais je ne la trouve pas. Par exemple comment encadrer $$2+2=4$$ Merci d'avance.

Lexique

Décomposition en éléments simples

[Théorème] :

Soit \(\mathbb{K}\) un corps clos (par exemple \(\mathbb{C}\)). Alors toute fraction rationnelle peut s’écrire de manière unique sous la forme suivante: \(\displaystyle P+\sum_{i=1}^n (\sum_{j=1}^{n_i} \frac{{\lambda}_{i,j}}{(X-p_i)^j})\), avec \(P\) un polynôme dans \(\mathbb{K}\), avec les \(n_i\) non nuls, avec les \({\lambda}_{i,j}\in \mathbb{K}\), et les \(p_i\) (les pôles) sont des éléments de \(\mathbb{K}\) deux à deux disjoints.

Toute fraction rationnelle sur le corps des réels peut s’écrire de manière unique sous la forme suivante: \(\displaystyle P+\sum_{i=1}^n(\sum_{j=1}^{n_i} \frac{{\lambda}_{i,j}}{(X-p_i)^j})+\sum_{i=1}^m (\sum_{j=1}^{m_i} \frac{\alpha_iX+ \beta_i}{X^2+\gamma X+ \delta})\) avec les \(p_i\) des réels distincts, les \({\lambda}_i\), \(\alpha_i\), \(\beta_i\) des réels, les \(X^2+\gamma X+\delta\) des polynômes irréductibles \(2\) à \(2\) disjoints.

Ces formes uniques sont appelées décompositions en éléments simples.

Guide pour les auteures et auteurs de
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