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Je m'intéresse aussi au groupe des unités de ce corps.
Comme $K=\Bbb Q[\alpha]$ avec $\alpha=\frac{\sqrt2(1+\sqrt{11})}2$ qui vérifie $X^4-12X^2+25=0$, on a $r_1=2,\:r_2=1$ et donc le groupe des unités est de rang 2.
Mais on dispose des 3 unités fondamentales des corps intermédiaires:
$1+\sqrt2$ pour $\Bbb Q[\sqrt2]$
$10+3\sqrt{11}$ pour $\Bbb Q[\sqrt{11}]$ et accrochez-vous !
$197+42\sqrt{22}$ pour $\Bbb Q[\sqrt{22}]$ (merci Python pour le calcul parce que celle-là ... on peut tatonner un moment !)

Toujours est-il que puisque le rang vaut 2, ces trois unités sont liées:

Comment obtenir une relation de liaison ?

$\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}$Bonjour,
Soit $E$ un $\mathbb{K}$ espace vectoriel de dimension $(p+1)n$ avec $p\geq 2$. Soit $f\in \mathcal{L}(E)$ tel que $f^3=0$ et $\rg(f)=p \times n$. Il faut montrer que $\rg(f^2)=n$. Je ne comprends pas en quoi c'est une conséquence du théorème des noyaux itérés.

De la même façon, si on se donne un endomorphisme $u\in \mathcal{L}(E)$ (ici $E$ est de dimension quelconque) tel que $\dim(\ker(u))=1$. Montrer que pour tout $k \leq \dim(E)$, $\dim(\ker(u^k)) = k$. Je ne comprends pas non plus en quoi c'est une conséquence du théorème des noyaux.

En effet, le théorème des noyaux itérés nous dit que …

Bonsoir,
Je bloque sur le passage encadré en rouge, sur la démonstration du corollaire.

Je ne comprends pas non plus à quoi sert le deuxième point de la démonstration du corollaire à partir de : "comme $f$ est positive" car l'équivalence est déjà montrée au premier point...

Bonjour
$E$ l’ensemble $f$ fonctions de classe $C^2$ de [0;1] dans $R$ avec $f(0)=f’(0)=f(1)=f’(1)=0$.