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Exercice

Anneau \(\mathbb{Z}\left[\sqrt 7\right]\)

18 novembre 2022 16:00 — Par
  • Emmanuel Vieillard-Baron
  • Alain Soyeur
  • François Capaces

  1. On rappelle (exercice
    [sous_groupe_de_R] p. [sous_groupe_de_R]) que tout sous-groupe de \(\left(\mathbb{R},+\right)\) non réduit à \(\left\{0\right\}\) est soit de la forme \(a\mathbb{Z}\)\(a\in\mathbb{R}_+^*\), soit dense dans \(\mathbb{R}\).

    Soit \(H\) un sous-groupe de \((\mathbb R^*, \times)\).
    Démontrer que

    • soit : \(\exists a\geqslant1:\, H = \left\lbrace a^n, n\in\mathbb Z\right\rbrace\),

    • soit : \(\forall (\alpha,\beta)\in\mathbb R_+^2\), \((\alpha<\beta) \Longrightarrow (]\alpha,\beta[\cap H \neq \varnothing)\).

    (On pourra utiliser le logarithme.)

  2. Dans toute cette partie, \(\mathcal A=\left\{ a+b\sqrt 7~|~ (a,b)\in \mathbb{Z}^2\right\}\). On admet que \(\sqrt7\notin\mathbb Q\). (voir l’exercice [racine7_irrationnel] p. [racine7_irrationnel].)

    1. Démontrer que pour tout \(x\in\mathcal A\), il existe un unique couple \((a,b)\in \mathbb Z^2\) tel que \(x = a+b\sqrt7\).

    2. Démontrer que \(\mathcal A\) est un sous-anneau de \((\mathbb R, +,\times)\).

    3. Démontrer que l’ensemble \(U(\mathcal A)\) des éléments inversibles de \(\mathcal A\) est un sous-groupe de \((\mathbb R^*, \times)\).

  3. Pour \(x = a+b\sqrt7\in \mathcal A\), on note \(\overline x\) le réel \(a-b\sqrt7\) et on note \(N(x) = x\overline x = a^2 - 7b^2\).

    1. Expliquer rapidement pourquoi \(\overline x\) et \(N(x)\) sont bien définis.

    2. Démontrer que \(\forall(x,y)\in\mathcal A^2\), \(N(xy) = N(x)N(y)\).
      On admet que l’équation \(N(x) = -1\) n’admet pas de solution dans \(\mathcal A\). Voir à ce sujet l’exercice [residu_quadratique] p. [residu_quadratique].

    3. Démontrer que \(\forall x\in\mathcal A\), \(\left(x\in U(\mathcal A) \Longleftrightarrow (N(x) = 1)\right)\). Le cas échéant, que vaut l’inverse de \(x\) ?

    1. Soit \(a+b\sqrt7\in U(\mathcal A)\). Démontrer que (\(a\geqslant 0\) et \(b\geqslant 0\))\(\Longleftrightarrow (a+b\sqrt7\geqslant1)\).

    2. Démontrer que \(U(\mathcal A)\) n’est pas réduit à \(\{-1,1\}\).

    3. Démontrer que l’intervalle \(\left] 1,3\sqrt7\right[\) ne contient pas d’éléments de \(U(\mathcal A)\).

    4. Démontrer qu’il existe un élément de \(u\) de \(U(\mathcal A)\cap]1,+\infty[\) tel que \[U(\mathcal A) = \left\lbrace \varepsilon u^n ; \varepsilon = \pm1 \textrm{ et } n\in\mathbb Z \right\rbrace .\] Le nombre \(u\) évidemment (?) unique est appelé unité principale de \(\mathcal A\).

  4. On pose pour tout \(n\in\mathbb N\), \(u^n = a_n + b_n\sqrt7\).

    1. Démontrer que les suites \((a_n)_{n\in\mathbb N}\) et \((b_n)_{n\in\mathbb N}\) sont positives et strictement croissantes.

    2. En déduire la valeur de \(u\).

    3. Donner dans l’ordre croissant des valeurs de \(x\), les quatre plus petites solutions dans \(\mathbb N^*\times\mathbb N^*\) de l’équation dite de Pell-Fermat : \[x^2 - 7y^2 = 1.\]

  5. On pose \(\alpha_n = a_{2^n}\) et \(\beta_n = b_{2^n}\).

    1. Établir des relations de récurrence entre les \(\alpha_{n+1}\) et \(\beta_{n+1}\) d’une part et les \(\alpha_{n}\) et \(\beta_{n}\) d’autre part.

    2. Démontrer que \(\dfrac{a_n}{b_n}\) converge vers une limite finie \(\lambda\) que l’on déterminera.

    3. Démontrer que \(\forall n\in\mathbb N\), \[\varepsilon_n = \left\vert \dfrac{\alpha_n}{\beta_n} - \lambda \right\vert \leqslant \dfrac{1}{2\sqrt7\,\beta_n^2}.\]

    4. Donner une majoration explicite de l’erreur \(\varepsilon_n\) en fonction de \(n\).
      (On pourra, faute de mieux, démontrer que \(\forall n\in\mathbb N^*\), \(\alpha_{n}\geqslant3^{2^n}\) et \(\beta_{n}\geqslant3^{2^n}\).)

    5. En déduire une approximation rationnelle de \(\sqrt7\) à \(10^{-20}\) près.

      Voir aussi exercice [Z_racine_deux] p. [Z_racine_deux].

Forum

Reconstitution euclidienne

2 décembre 2022 17:24 — Par pappus

Bonjour à tous
Après un premier essai de reconstitution affine assez pitoyable à quelques exceptions près, je vais essayer une reconstitution euclidienne, certainement pas du niveau collège, (faut pas rêver !), peut-être du niveau lycée mais j'en doute, du niveau agrégation qui sait mais plus probablement du niveau du reste du monde.

Napoléon est mort à Sainte Hélène,
Son fils Léon lui a crevé l’bidon.
On l’a r’trouvé, assis sur une baleine,
En train d’bouffer les fils de son caleçon.

Tout le monde a entendu parler des triangles de Napoléon !
Voir la figure ci-dessous.
Connaissant le triangle …

Changement de variable singulier dans une EDO

2 décembre 2022 16:48 — Par Alain24

Sur $K^n=\mathcal{C}^n$ on se donne l'EDO linéaire $\frac{dy}{dx}=A(x)y$, $A(x)$ est une fonction matricielle.
Q
ue peut-on dire du changement de variables singulier $y=R(x)z$, avec $R$ fraction rationnelle dont on connait les pôles ? (c'est une question ouverte).

Calendrier de l’Avent

2 décembre 2022 15:42 — Par Quentino37

Bonjour, je vous propose pour Noël de donner tous les jours un exercice (de plus en plus difficile mais amusant), d'analyse (intégrales, séries), ou de théorie des nombres (équations dophantiennes, etc.
Défi. Chaque exercice devra être résolu le jour même (ceux qui connaissent déjà totalement la solution ne la donnent qu'en dernier recours).
Pour préparer cet événement (qui se déroulera dans ce fil), je recherche des volontaires pour chaque jour pour trouver des exercices amusants : 
Volontaires pour chaque jour : 

1 JLapin
2 Calli
3 Bibix
4 Calli …

Encadrement

2 décembre 2022 12:58 — Par Lolo36

Bonjour
Si on a par exemple $-1\leqslant x\leqslant 4$ et $-2\leqslant y\leqslant 5$ et qu'on veut encadrer $xy$, y a-t-il une autre méthode plus rapide que de traiter les différents cas possibles ? Merci.

Rapport CAPES externe 2022

2 décembre 2022 12:02 — Par Barry

https://capes-math.org/data/uploads/rapports/rapport_2022.pdf

Lexique

Dérivable au sens complexe en \(a\in\Omega\) si

[Définition] :

Une fonction est dite dérivable au sens complexe en \(a\in\Omega\) si \(lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) existe et est finie. On note alors cette limite \(f'(a)\).

Une fonction est dite holomorphe sur \(\Omega\) si elle est dérivable au sens complexe en tout point de \(\Omega\). On note \(H(\Omega)\) l’ensemble des fonctions holomorphes sur \(\Omega\).

On notera \(D(a,r)\) (resp. \(D'(a,r)\)) avec \(r>0\) l’ensemble des \(x\) de \(\Omega\) tels que \(|x-a|<r\) (resp. \(0<|x-a|<r\)).

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