Relativité générale : équation d'onde
Bonjour
En 1912, Gunnar Nordström a suggéré un potentiel gravitationnel $\phi$ tel que, pour une particule
$\frac{d u_{\mu}}{d \tau } = - \partial _{\mu} \phi - u_{\mu} u^{\alpha} \partial_{\alpha} \phi $.
Montrer que cette théorie implique que $\phi$ satisfait l'équation d'onde dans le vide.
En prenant l'équation en $\mu =t$.
Dans ce cas, $u_{\mu}=-c$
et $0= - \partial _{t} \phi + c u^{\alpha} \partial_{\alpha} \phi $.
J'ai pensé à redériver par rapport à $t$ et à réinjecter l'expression de $\frac{d u_{\mu}}{d \tau }$ (qui est la dérivée par rapport à $\tau$ et non pas $t$ ...) mais cela n'a pas l'air de fonctionner.
C'est la bonne méthode et je m'y prends mal ou il faut passer par ailleurs ?
En 1912, Gunnar Nordström a suggéré un potentiel gravitationnel $\phi$ tel que, pour une particule
$\frac{d u_{\mu}}{d \tau } = - \partial _{\mu} \phi - u_{\mu} u^{\alpha} \partial_{\alpha} \phi $.
Montrer que cette théorie implique que $\phi$ satisfait l'équation d'onde dans le vide.
En prenant l'équation en $\mu =t$.
Dans ce cas, $u_{\mu}=-c$
et $0= - \partial _{t} \phi + c u^{\alpha} \partial_{\alpha} \phi $.
J'ai pensé à redériver par rapport à $t$ et à réinjecter l'expression de $\frac{d u_{\mu}}{d \tau }$ (qui est la dérivée par rapport à $\tau$ et non pas $t$ ...) mais cela n'a pas l'air de fonctionner.
C'est la bonne méthode et je m'y prends mal ou il faut passer par ailleurs ?
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Réponses
Simplifie le bordel avec $t,x,y$ pour y voir plus clair.
Quelles sont les relations selon $t,x,y$ données par cette équation ?
Comment s’écrit l’équation d’onde ?
Conclure.
$\frac{d u_{t}}{d \tau } = - \partial _{t} \phi - u_{t} (u^t \partial_t \phi + u^x \partial_x \phi + u^y \partial_y \phi )$
$\frac{d u_{x}}{d \tau } = - \partial _{x} \phi - u_{x} (u^t \partial_t \phi + u^x \partial_x \phi + u^y \partial_y \phi ) $
$\frac{d u_{y}}{d \tau } = - \partial _{y} \phi - u_{y} (u^t \partial_t \phi + u^x \partial_x \phi + u^y \partial_y \phi ) $
L'équation d'onde s'écrit:
$0=\Delta \phi - \frac{1}{c^2} \partial_t^2 \phi $
Non, ton calcul $u_\mu = -c$ est très faux. $\mu=t$ ne signifie rien de bon. Bref, il te faut bien comprendre toutes les notations ou passer ton chemin.
Du coup avec la métrique $(-,+,+,+)$ on a bien $u_t=-c$ non ?
Non.
Tu inventes ou tu lis un cours ?
On a bien $u_{\mu} = g_{\mu \nu} u^{\nu} $ ?
Si $\mu = t$ et si la métrique est diagonale $g_{t \nu} = - \delta ^t _{\nu} $ (en supposant que le coefficient $g_{tt}=-1$ )
alors $u_t=-c$ non ?
Non. Non. Et $\mu=t$ est une grosse connerie.
Lis le cours.
Tu abandonnes ?
On a $\displaystyle (x^\alpha) = (x^0,x^1) = (ct, x)$ pour la position.
La vitesse, donnée par $\displaystyle u_\alpha = {d x^\alpha \over d\tau}$ avec $\tau$ le temps propre, est $\displaystyle (u_\alpha) = (u_0,u_1) = (c \gamma, v \gamma)$ avec $\gamma = {1 \over \sqrt{1-\beta^2}}$ et $\displaystyle \beta= v/c.$
On montre que l'équation de $\displaystyle \dot{u}_\alpha = -\partial_\alpha \phi - u_\alpha u^\beta \partial_\beta \phi$ implique que la métrique est de Minkowski : $\displaystyle g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu}.$
C'est difficile : tu peux l'admettre ou c'est dans l'énoncé qui présente cette équation.
Indication : Ecrire l'équation des géodésiques, identifier les symboles de Christoffel, utiliser la symétrie en $\Gamma^\alpha_{\mu \nu} = \Gamma^\alpha_{ \nu \mu} $ pour en déduire une équation sur $\phi$ : en déduire $ \displaystyle \dot{u}^\alpha =0.$
Qu'est-ce qu'une particule test ?
Quelle est l'équation des géodésiques d'une particule test libre ? C'est $ \displaystyle \dot{u}^\alpha + \Gamma^\alpha_{\mu \nu} u^\mu u^\nu = 0$ avec les symboles de Christoffel $\Gamma^\alpha_{\mu \nu}$ tous nuls pour la métrique de Minkowski. On a donc $ \displaystyle \dot{u}^\alpha =0.$ La vitesse est constante.
On écrit donc $\displaystyle \partial_\alpha \phi + u_\alpha u^\beta \partial_\beta \phi = 0$ pour $\alpha = 0$ puis pour $\alpha=1.$
On met sous la forme $\displaystyle \partial_0 \phi = A \partial_1 \phi$ et $\displaystyle \partial_1 \phi = B \partial_0 \phi.$
On dérive la première par rapport à $x^0$, la deuxième par rapport à $x^1$ pour trouver $(C \partial^2_0 - \partial^2_1) \phi = 0$ : c'est l'équation d'onde.
Je te laisse faire les calculs pour trouver $A, B, C$ : quelle est la vitesse de la particule test pour que la vitesse de propagation atteigne la vitesse de la lumière ?
Merci de cette réponse.
Toutefois, le livre que je suis n'a pas encore introduit les symboles de Christoffel.
Concrètement, on nous introduit l'équation de Poisson pour le potentiel gravitationnel en physique classique: $\Delta \phi = 4 \pi G \rho$
En admettant le PFD, on a $\frac{\partial u_{mu} }{\partial t}=-\partial_{\mu} \phi$
Mais le fait que $u.u=-1$ implique que $0=u^{\mu} \frac{d u_{\mu}}{d\tau}$
Donc $0=u^{\mu} \partial_{\mu}\phi$ et, comme c'est vrai pour une particule arbitraire, $\partial_{\mu}\phi=0$ ce qui entre en contradiction avec $\Delta \phi = 4 \pi G \rho$
Pour cette raison, on nous introduit la théorie de Gunnar Nordström (écrite plus haut) qui résout ce dernier problème.
Et on arrive enfin à la question de l'équation des ondes.
Par ailleurs, dans des questions précédents, on a supposé un espace-temps plat de la relativité restreinte et parfois une vitesse $v<<c$.
Question au passage: il y a une raison pour mettre des coordonnées contravariantes pour $x$ et covariantes pour $u$ ?
Sinon, pour répondre à tes indications:
$\alpha=0: 0= \partial_0 \phi +c \gamma u^{\beta} \partial_{\beta} \phi $
$\alpha=1: 0= \partial_1 \phi +v \gamma u^{\beta} \partial_{\beta} \phi $
Donc $ \partial_0 \phi = c/v \partial_{1} \phi $ et $A=c/v$
ou encore $ \partial_1 \phi = v/c \partial_{1} \phi $ et $B=v/c$
Alors, (en supposant la fonction $C^2$ et en utilisant le théorème de Schwarz), $\partial_0^2 \phi = A \partial_{1} \partial_{0} \phi = A/B \partial_{1}^2 \phi$
et $C=B/A = (v/c)^2=\beta ^2$
Tu ne m’avais pas dit que l’espace était plat, j’ai passé une heure à montrer que c’est nécessaire.
La propagation de l’onde est à la vitesse $c^2/v>c$. Il faut considérer une particule sans masse et donc de vitesse $c$ pour une propagation à la vitesse de la lumière.
Ton livre définit-il une particule test comme étant de masse nulle ? Les calculs sont beaucoup plus simple.
Bon, de toute façon, quand on est physicien on rejette cette équation en une seconde : elle est linéaire. Or les équations de la relativité générale doivent être non linéaire puisque le champ gravitationnel transporte une énergie, équivalente à une masse, qui elle-même perturbe localement l’espace-temps.
Les livres n’utilisent pas tous les mêmes conventions de notation. Notamment pour la quasi-vitesse, des fois l’indice est en haut et d’autres en bas alors que l’indice de la quadri-position est en haut.
Il suffit de le définir rapidement comme j’ai fait…
Merci de toutes ces réponses :-D
Oups pour l'oubli du menu détail de l'espace plat...
Le livre ne parle tout simplement pas de particule test...
Pour ce qui est des indices, cela ne change-t-il pas la signification (covariant VS contravariant) ?