Reconstituer un espace, de ses symétries

Bonjour à tous
- La théorie inverse de Galois demande, si, étant donné un groupe $ G $, on peut reconstituer $ E = \mathbb{Q} (a_1 , \ldots , a_n) $, une extension galoisienne de $ \mathbb{Q} $, à partir de $ G $, de sorte que, $ \mathrm{Gal}_{ \mathbb{Q} } ( E ) = \mathrm{Gal}_{ \mathbb{Q} } ( \mathbb{Q} (a_1 , \ldots , a_n ) ) = G $.
- Or, on sait, d'après la théorie des variétés algébriques, que, $ \mathcal{C}^0 ( V(I) , \mathbb{C} ) = \mathbb{Q} [X_1 , \dots , X_n ] / I = \mathbb{Q} (a_1 , \dots , a_n ) = E $.

En combinant ces deux points çi-dessus, on obtient : $ \mathrm{Gal}_{ \mathbb{Q} } ( E ) = \mathrm{Gal}_{ \mathbb{Q} } ( \mathcal{C}^0 ( V(I) , \mathbb{C} ) ) = G $.
À partir de ces données, si $ \mathrm{Gal}_{ \mathbb{Q} } ( E ) = \mathrm{Gal}_{ \mathbb{Q} } ( \mathcal{C}^0 ( V(I) , \mathbb{C} ) ) = G $, est-ce qu'on peut dire, que, $ G $ s'identifie, à $ V(I) $ ? ( i.e : $ G = V(I) $ ), et que, dans ce cas là, $ E = \mathcal{C}^0 ( G , \mathbb{C} ) $ ? Doit-on a priori, considérer $ G = V(I) $ un groupe algébrique pour que ces formules ci-dessus marchent ?

Je précise que $ \mathcal{C}^0 ( G , \mathbb{C} ) $ est l'espace des fonctions continues sur $ G $ à valeurs dans $ \mathbb{C} $.

Pensez-vous que les deux foncteurs, $ \mathrm{Gal}_{ \mathbb{Q} } ( \bullet ) $ et $ \mathcal{C}^0 ( \bullet , \mathbb{C} ) $ sont inverses l'un par rapport à l'autre ?
Merci d'avance.