Hypothèse de Riemann.
dans Shtam
Bonjour à tous
J'ai lu pas mal de documents sur le net, y compris Wikipedia, sur l'hypothèse de Riemann, et jusqu'à maintenant, je n'arrive pas à saisir clairement ce qui est demandé d'établir dans cette conjecture.
Est-ce que cette conjecture demande d'établir que $ \zeta ( \frac{1}{2} + i t ) = 0 $ pour tout $ t \in \mathbb{R} $, où $ \zeta \ : \ s \mapsto \zeta (s) $ est la fonction Zêta de Riemann ?
Merci pour votre éclairage.
J'ai lu pas mal de documents sur le net, y compris Wikipedia, sur l'hypothèse de Riemann, et jusqu'à maintenant, je n'arrive pas à saisir clairement ce qui est demandé d'établir dans cette conjecture.
Est-ce que cette conjecture demande d'établir que $ \zeta ( \frac{1}{2} + i t ) = 0 $ pour tout $ t \in \mathbb{R} $, où $ \zeta \ : \ s \mapsto \zeta (s) $ est la fonction Zêta de Riemann ?
Merci pour votre éclairage.
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Réponses
J’hallucine à chaque fois que je te lis Pablo.
Tu ne sais pas utiliser un moteur de recherche?
Si tu n'as pas compris ce que tu as lu sur le web, tu ne vas pas comprendre non plus ce que je pourrais écrire car je vais écrire la même chose. Il n'y a pas 36 façons de présenter cette conjecture.
PS:
Je ne vois pas comment faire plus clair que ce qui est écrit dans Wikipedia en introduction.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Hypothèse_de_Riemann
Ne te fatigue pas à écrire une "preuve". Celle-ci figure sans doute déjà: ici.
Parce que je suis curieux de voir la suite du film :-D.
Soit $ f \ : \ \mathbb{R}^{ \mathbb{N} } \times \mathbb{C} \to \mathbb{C} $ une fonction définie par, $$ f((x_n)_{ n \geq 0 } , s ) = \displaystyle \sum_{ n \geq 0 } \dfrac{1}{x_{n}^{ \displaystyle s}} .
$$ J'ai montré que, si un uplet $ ((x_n)_{ n \geq 0 } , s ) $ de $ \mathbb{R}^{ \mathbb{N} } \times \mathbb{C} $ est un zéro de $ f $, alors, $ s $ est un zéro de la fonction Zêta de Riemann définie comme vous le connaissez, par,
$$ \zeta (s) = \displaystyle \sum_{ n \geq 0 } \dfrac{1}{n^{ \displaystyle s}} .
$$ Alors, je me dis que pour des valeurs bien choisies des suites $ (x_n)_{ n \geq 0 } $, on peut facilement en déduire, $ s $, zéro de $ f $, en fonction des éléments des suites $ (x_n)_{ n \geq 0 } $, et ce $ s $ est donc aussi un zéro de la fonction Zêta de Riemann $ \zeta \ : \ s \mapsto \zeta (s) $.
Je termine demain, si Dieu veut, parce qu'il fait tard.
Cordialement.
Au passage tu as aussi montré que 0 < zeta(3) = 0. Donc tu as enfin donné une preuve de ton affirmation sur l'existence de solutions exprimables par radicaux de tous les trinômes, comme corollaire du théorème de Pablo.
Théorème (Pablo-Hodge-Riemann) : les mathématiques sont paradoxales
Je me demande si ça te fait un seul gros prix ou si tu peux empocher tous les prix des conjectures irrésolues d'un coup.
Mais le mieux serait sans doute de ne pas publier tes résultats, à la fois pour ne pas mettre des milliers d'ingénieurs au chômage, et ne pas rendre les IA trop puissantes.
Comment montres tu que, $ \zeta (3) > 0 $ RLC ?
$ f $ est définie par, $$ f((x_n)_{ n \geq 0 } , s ) = \displaystyle \sum_{ n \geq 0 } \dfrac{1}{x_{n}^{ \displaystyle s}} .
$$ telle que, $ ((x_n )_{ n \geq 0} , s) $ vérifie, pour tout $ n \in \mathbb{N} $, $ \big( \dfrac{1}{x_{n}^{ \displaystyle s}} \big)^{ \frac{1}{n} } \in D(0,1) \subset \mathbb{C} $.
Tu as raison RLC. ;-)
C'est corrigé maintenant. :-)
Je te signale que la série $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^s}$ n'est convergente que pour les nombres complexes $s$ de partie réelle strictement supérieure à $1$.
En particulier, cette série ne converge pas pour les nombres complexes de la forme $s=\dfrac{1}{2}+it$ avec $t$ réel.
Il me semble que $ \zeta $ définie sur $ \{ z \in \mathbb{C} \ | \ \mathfrak{Re} (z) > 1 \ \} $ admet un prolongement analytique sur $ \{ z \in \mathbb{C} \ | \ 0 \leq \mathfrak{Re} (z) \leq 1 \ \} $. Donc, $ \zeta $ admet
des zéros dans $ \{ z \in \mathbb{C} \ | \ 0 \leq \mathfrak{Re} (z) \leq 1 \ \} $. Non ?
PS:
Sympa de changer complètement ton message pendant qu'on te répond. :-X
Pourquoi tu dis alors que $ \zeta $ n'admet pas de zéros sur d'autres zones de $ \mathbb{C} $ autres que $ \{ z \in \mathbb{C} \ | \ \mathfrak{Re} (z) > 1 \ \} $, puisque $ \zeta $ ne converge que sur $ \{ z \in \mathbb{C} \ | \ \mathfrak{Re} (z) > 1 \ \} $, si je comprends bien ton intention ?
Pour tout $z$ de partie réelle strictement supérieure à $1$, $\zeta$ ne s'annule pas. C'est le point fondamental dans les démonstrations du théorème des nombres premiers (en tout cas, pour celles que j'ai pu avoir sous les yeux).
*: ces zéros sont dits triviaux.
La droite critique est la droite d'équation $\text{Re}(z)=1/2$.
Pablo n'a pas compris que la série $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^s}$ ne représente $\zeta$ que sur le demi-plan $\mathfrak{Re} (z) > 1 $. En dehors de ce demi_plan, le prolongement analytique de $\zeta$ existe, mais la série n'existe plus, elle diverge.
Cordialement,
Rescassol
La question, pourquoi n'y a-t-il qu'un seul tel prolongement ? mobilise déjà des connaissances.
Par ailleurs, si on ne peut pas utiliser la série pour avoir les valeurs de $\zeta$ on se retrouve, en première analyse, dans une situation embarrassante : on n'a pas la moindre idée de comment calculer, par exemple, la valeur $\zeta(-2)$. Ce qui est perturbant pour le moins. :-D
Avant ce qu'a affirmé Rescassol tout à l'heure, j'imaginais le prolongement analytique ( d'une fonction $ f $, par exemple définie sur $ ] -,1 , 1 [ $ ) la meme fonction $ f $ mais cette fois çi définis sur $ \mathbb{R} $ tout entier, au lieu de $ ] - 1 , 1 [ $ simplement. :-)
*: On confond souvent dans la pratique une fonction et un de ses prolongements (qui est unique dans les situations qui nous intéressent).
Mais faut-il encore accéder au niveau L1 pour le savoir.