Les opérations arithmétiques avec l'infini

Je pensais mettre ce message dans mon sujet sur "Les nombres infinis selon Cantor". Mais comme il a été fermé bien après mon dernier message (pour une raison inconnue), voici donc ce nouveau sujet. J'ajoute aussitôt que ce sera mon seul message du sujet, étant très occupé actuellement. Cela ne vous empêche bien sûr pas d'en débattre éventuellement...


Je rappelle d'abord ma définition du nombre infini comme un entier naturel cardinal (non ordinal) supérieur à tout autre nombre non relatif. Comme le nombre infini n'occupe aucune position précise dans la suite des entiers naturels, il n'a bien sûr aucune valeur ordinale. Pour la même raison, l'infini ne peut pas être un entier relatif avec – ou + (souvent omis) devant, les nombres relatifs indiquant d'abord des positions (ordinales) sur une double échelle relative à 0. Un évènement historique ne peut pas se produire une infinité d'années avant ou après Jésus-Christ, la température ne peut pas être à une infinité de degrés avant ou après 0 : ce sont des impossibilités logiques ! Mais d'un point de vue cardinal, il existe bien une infinité de nombres négatifs et/ou positifs, une infinité d'entiers naturels, peut-être une infinité de planètes dans l'univers, etc.


Voyons maintenant les opérations arithmétiques possibles entre l'infini et d'autres nombres. Voici mes conventions pour les nombres décimaux non relatifs, comprenant bien sûr les entiers naturels (infinité de 0 après la virgule) :

A) Nombre nul = 0 (entier naturel)

Nombre fini = F – Ce nombre désigne tout nombre décimal non relatif, éventuellement entier (infinité de 0 après la virgule), compris entre le nombre nul (0) précédent et le nombre infini (INF) suivant.

C) Nombre infini = INF (entier naturel) – Je préfère ce symbole au 8 couché, peu visible. De toute façon, je n'arrive pas à introduire ce 8 dans mon message, par copier-coller. Il est alors refusé !


Voici les opérations du nombre infini (INF) avec les deux autres nombres définis (0 et F) : additions, soustractions, multiplications, divisions… Je signale ici l'intérêt d’effectuer ces opérations en assimilant les nombres à des ensembles et sous-ensembles (Cantor).


1) INF + 0 (ou l'inverse) = INF
Cohérent avec les opérations 4 et 6.

2) INF + F (ou l'inverse) = INF
Cohérent avec les opérations 5 et 6.

3) INF + INF = INF
Cohérent avec l'opération 6.


4) INF – 0 = INF
Cohérent avec les opérations 1 et 6.

5) INF – F = INF
Cohérent avec les opérations 2 et 6.

6) INF – INF = 0 ou F ou INF
Cohérent avec les opérations 1 et 4 (pour 0) ; 2 et 5 (pour F) ; 3 (pour INF).
Envisageons par exemple les entiers naturels (INF). Si vous en enlevez la totalité (INF), il n'en restera aucun (0). Si vous en enlevez la totalité sauf les dix premiers (INF), il restera les dix premiers (F). Si vous en enlevez les entiers pairs (INF), il restera les entiers impairs (INF).

7) 0 – INF = impossible
Là, il faut être cohérent avec soi-même ! Si j'ai défini le nombre infini (INF) comme un entier naturel (non relatif) pour la raison indiquée, cette soustraction ne peut aboutir à –INF et devient impossible.

8) F – INF = impossible
Soustraction tout aussi impossible que la précédente, pour la même raison.


9) INF × 0 (ou l'inverse) = 0
Cohérent avec l'opération 15.

10) INF × F (ou l'inverse) = INF
Cohérent avec les opérations 13 et 14.

11) INF × INF = INF
Cohérent avec l'opération 14.


12) INF / 0 = impossible
La division par 0 est une impossibilité logique généralement reconnue.

13) INF / F = INF
Cohérent avec les opérations 10 et 14.

14) INF / INF = F ou INF
Cohérent avec les opérations 10 et 13 (pour F) ; 11 (pour INF).
Envisageons par exemple l'hôtel de Hilbert et ses chambres en nombre infini (INF) et supposons que son directeur veuille les vendre à une infinité d'acquéreurs (INF) par lots. Un lot ne peut bien sûr comprendre aucune chambre (0) car le total serait alors 0 (pas INF). Il englobe en principe un nombre fini (F) de chambres : une seule, un million, un milliard, peu importe car le total sera toujours INF ! Mais un lot peut aussi comprendre une infinité (INF) de chambres si l'hôtel possède une infinité de niveaux, chacun avec une infinité de chambres. Chaque acquéreur recevra alors toutes les chambres d'un niveau au moins (INF) et le total sera aussi INF !

15) 0 / INF = 0
Cohérent avec l'opération 9.

16) F / INF = impossible
Le résultat ne peut être 0, car sa multiplication par le dénominateur infini (INF) n'aboutirait pas au numérateur fini (F) mais à 0. Il ne peut être non plus une quantité infinitésimale (F), sa multiplication par l'infini (INF) surpassant le numérateur (F) car produisant l'infini (INF). Cette division est donc impossible.


Bonne continuation sur ce forum… N'oubliez surtout pas de vous faire vacciner contre le covid pour faire plaisir à notre président ! ;-)