Conjecture issue de la conjecture de Collatz
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Conjecture de Collatz
On choisi un entier positif non nul n= a(1) qui est le premier nombre d'une série définie par les règles suivantes, si a(i) est pair a(i+1)=a(i)/2 et si a(i) est impair a(i+1)=3*a(i)+1.
La conjecture dit que a(i) final est toujours égal à 1 suivi du cycle trivial perpétuel 4,2,1.
Ma conjecture (nouvelle si personne ne peut apporter la preuve d'une antériorité) est la suivante :
On choisit un nombre entier positif non nul a(1), on choisit un nombre premier P(j) >5, si le nombre a(i) est pair on le divise par 2, si a(i) est impair on le divise par tout nombre premier < P(j-1) si c'est possible et autant de fois que possible.
S'il n'est plus divisible par un nombre premier impair <P(j-1) on le multiplie par P(j) et on ajoute 1.
La conjecture est la suivante, le nombre de nombres premiers P(j) tels que la suite a(i) se termine toujours par 1 est infini, et les nombres P(i) sont au début 11,17,19,29,31,37,41,43,71,79,89,107.
En fait la suite se termine par 1 pus répétition du cycle dépendant de P(j).
Bonne nuit
Conjecture de Collatz
On choisi un entier positif non nul n= a(1) qui est le premier nombre d'une série définie par les règles suivantes, si a(i) est pair a(i+1)=a(i)/2 et si a(i) est impair a(i+1)=3*a(i)+1.
La conjecture dit que a(i) final est toujours égal à 1 suivi du cycle trivial perpétuel 4,2,1.
Ma conjecture (nouvelle si personne ne peut apporter la preuve d'une antériorité) est la suivante :
On choisit un nombre entier positif non nul a(1), on choisit un nombre premier P(j) >5, si le nombre a(i) est pair on le divise par 2, si a(i) est impair on le divise par tout nombre premier < P(j-1) si c'est possible et autant de fois que possible.
S'il n'est plus divisible par un nombre premier impair <P(j-1) on le multiplie par P(j) et on ajoute 1.
La conjecture est la suivante, le nombre de nombres premiers P(j) tels que la suite a(i) se termine toujours par 1 est infini, et les nombres P(i) sont au début 11,17,19,29,31,37,41,43,71,79,89,107.
En fait la suite se termine par 1 pus répétition du cycle dépendant de P(j).
Bonne nuit
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Réponses
Essaie avec a(i)=17 et P(j)=11
J'obtiens 17 -> 188 -> 47 -> 518 -> 37 -> 408 -> 17
@Zgrb
Partant de 17 avec P(5)=11 mon ordi me donne 17, 188, 94, 47, 518, 259, 2850, 1425, 475, 95, 19, 210, 105, 35, 7, 78, 39, 13, 144, 72, 36, 18, 9, 3, 1 puis répétition du cycle 12, 6, 3, 1.
Je continue à faire confiance à mon ordi !!
Bonne journée
Je prends a(1) = 121 et je choisis p(j)=11 (je n'ai pas compris le principe de l'indice de p(j)).
a(1) n'est divisible par aucun nombre premier inférieur à p(j). Je le multiplie donc par p(j) et lui ajoute 1, j'obtiens la suite :
1332 -> 37 -> 408 -> 17 -> 188 -> 47-> 518 -> 37 -> 408 -> 17...
Apparemment, la conjecture ne fonctionne pas non plus sur cet exemple.
J'aimerais savoir sur quel exemple cela fonctionne d'ailleurs.
Je propose donc la conjecture suivante (nouvelle si personne n'apporte la preuve d'une antériorité), toute suite boucle sur une des valeurs renseignées dans le premier message, à savoir 11, 17, 19, 29, 31, 37, 41, 43, 71, 79, 89.
À bientôt.
[Édit : Au passage, il manque 47, comme les deux exemples le montrent à suffisance.
Je fais confiance à ces exemples.]
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Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Si j'ai bien compris, on divise par tous les premiers < 7 (quand on a choisi 11 au départ) c'est à dire strictement plus petit que le premier précédent celui qui a été choisi.
Je n'ai pas trouvé de contre exemple avec 11,
PS : Pourquoi séparer le cas "divisible par 2", c'est aussi un premier
Pourquoi 7 n'est pas dans la liste ?
À bientôt.
[Édit : j'ai fait quelques tests aussi pour P(j) = 13, a(1) = 9 et a(1) = 45, cela boucle pour chacun de ces exemples, or ce P(j) n'est pas dans la liste.
De plus, la plupart des valeurs intermédiaires ne sont pas dans la liste, comme 59 par exemple.]
[Édit 2 : nouvelle conjecture. La liste reprend tous les nombres premiers supérieurs à 5.]
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Si p(j)=7 en partant de 19 on trouve jamais 1 !!!
19
134
67
470
235
1646
823
5762
2881
20168
10084
5042
2521
17648
8824
4412
2206
1103
7722
3861
1287
429
143
1002
501
167
1170
585
195
65
456
228
114
57
19
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Aucun rapport entre P(4)=7 et P(8)=19 mis à part qu'ils sont premiers, mais pour P(4) tous les cycles ne se terminent pas par 1 alors que c'est le cas sauf contre-exemple pour p(8)=19
Cordialement
Je peux changer un peu ma conjecture pour qu'elle commence à 11, mais à part cela, en l'état je ne vois aucune ressemblance avec la suite que tu donnes (sans avoir expliqué comment elle est formée).
À bientôt.
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Ci dessous les premières valeurs de j telles que la suite peut se terminer par un cycle commençant par un nombre premier ou par un cycle commençant par 1, valeur de i suivie du nombre premier
4, 19
6, 19
9, 179
15, 859
17, 73
18, 97
19, 181
21, 409
23, 89
25, 631
26, 661
38, 383
39, 1787
40, 1697
42, 991
44, 233
48, 503
50, 1873
52, 431
54, 1831
55, 461
A plus
Pardon d'insister, mais cela veut bien dire que 19 et 89 ne doivent pas se trouver dans la liste (parce que justement ils ne conduisent pas forcément à 1) ?
De plus, je suppose que tu as mené les calculs suffisamment loin pour être sûr que, par exemple le choix de 11 comme premier conduit toujours à 1, peu importe le a(i) ?
Jusqu'où es-tu allé pour les a(i) testés ?
À bientôt.
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De retour d'un long weekend merci pour les questions.
Mes réponses:
1- la durée d'une recherche dépend du nombre premier P(j) choisi, par exemple en quelques heures on peut faire calculer à un bon ordi les records du nombre de divisions par 3 ou par 5 en partant de a(1) un nombre premier inférieur à 30 000 000, résultats obtenus =
Pour P(5)=11 on obtient les records de divisions par 3 ou 5 suivants ( avant d'atteindre 1) pour a(1) premiers cité en tête
17,9,
23,18,
53,20,
199,22,
383,23,
479,24,
503,37,
823,39,
911,45,
1193,77,
10979,80,
16127,88,
18143,90,
19961,103,
30697,128,
49871,184,
337219,189,
458219,200,
662897,213,
1131113,241,
1733873,258,
7306151,265,
8572433,285,
13667963,302,
2 - Pour certains P(j) le même calcul demande plusieurs jours, pour P(10)=29 en une heure on obtient les records suivants pour a(1) premier et le nombres de divisions par 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19 et a(1) < 125 000
31,5,
37,10,
41,14,
73,235,
151,237,
233,240,
241,242,
257,288,
701,5505,
4397,8952,
6793,9707,
12097,9721,
38453,10295,
43223,12095,
117797,14862
A plus
Pour P(130)=733 en 24 heures on obtient les records de division par les 127 premiers nombres premiers impairs suivants pour a(1)<31250000
739,3,
743,4,
751,17,
757,85,
839,93,
887,273,
1031,275,
2417,320,
3361,326,
4817,341,
6421,475,
10141,601,
22093,816,
34963,818,
190261,841,
218437,1174,
610639,1198,
817273,1269,
1230379,1324,
1407569,1424,
2518591,1454,
2597701,1626
Pour P(703)=5303 on obtient les records de division par les 700 premiers nombres premiers impairs suivants en 24 heures pour a(1)<500000
5309,8,
5323,37,
5351,50,
5381,125,
5413,307,
5861,312,
6323,438,
6991,444,
7459,447,
9311,508,
16193,809,
79987,883,
107057,899,
119513,901,
164147,1071,
168067,1094,
198689,1138,
346711,1262,
401179,1570,
A plus