Une fonction qui n'est pas dérivable en a

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dans Analyse
Bonjour,
je cherche une fonction qui n'est pas dérivable en un point $a$ tel que $\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\pm\infty$ qui admet une tangente verticale en point A(a,f(a)). À condition d'éviter la notion de dérivabilité à droite et à gauche.

J'ai déjà une fonction $\sqrt{x-1}$, mais malheureusement je dois utiliser le concept de dérivabilité à droite en point $a=1$.
Merci d'avance

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Pas sûr d'avoir compris la question, mais $x \mapsto \sqrt{|x-1|}$ m'a l'air de convenir.
  • Dreamer
    Dreamer
    Bonjour.

    Sauf erreur, s'il y a une tangente verticale en $x=a$, il est difficile d'avoir un point précis du style A(a, f(a)).

    À bientôt.

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  • bisam
    bisam
    La fonction $x\mapsto x \ln(|x|)$ prolongée par continuité en $0$ convient également... mais je ne saisis pas bien la requête "à condition d'éviter la notion de dérivabilité à droite et à gauche".
  • gerard0
    gerard0
    Un autre exemple élémentaire : $f(x)=\sqrt[3]{x}$, avec $a=0$.
    Comme l'exemple de Bisam, il y a bien une tangente en 0, pas deux demi-tangentes (Dans l'exemple de Poirot, la limite en 1 n'existe pas).

    Cordialement.
  • Dom
    Dom
    Comme Gérard, je pense tout de suite à la racine cubique.
    Plus généralement, il suffit d’avoir une fonction dérivable avec une tangente à la courbe de pente nulle, puis de considérer (quand c’est possible) sa fonction réciproque sur le voisinage du point considéré.

    Remarque : cela pose question, je trouve, sur le vocabulaire « fonction régulière » car les courbes de $t\mapsto t^3$ et $t\mapsto \sqrt[3]{t}$ sont isométriques. En gros, la tangente verticale n’est pas une « pathologie » de la courbe.
  • Amathoué
    Amathoué
    Dom, $t \mapsto t^3$ n’est pas un difféomorphisme. Donc la « régularité » n’est pas en général préservée par réciprocité. Mais peut-être que ce n’est pas ce que tu veux dire?
  • Dom
    Dom
    En effet.
    En maths, en général, on ne s’intéresse pas trop « au sens de la figure géométrique ».
    Ici, les courbes sont les mêmes, et sont bien des courbes de fonctions, mais l’on qualifie l’une des fonctions de régulière et l’autre non.
    Autre façon de le dire :
    L’aspect géométrique est le même et pourtant c’est le sens du regard qui fait qu’on trouve que l’une n’est pas comme l’autre (ça m’évoque « le carré est penché donc c’est plutôt un losange »).
    En très clair : c’est le problème de la droite verticale qui n’est pas la courbe d’une fonction (autrement dit : qui ne s’exprime pas sous la forme $y=ax+b$).

    Mais ce n’est qu’un point de vue assez léger, dominical, et qui ne veut aucunement remettre en cause ces thèmes.
  • Amathoué
    Amathoué
    Te demanderais-tu par hasard s’il est possible de définir une notion de régularité « purement géométrique »(=en dehors de l’analyse)?
  • Dom
    Dom
    Je n’étais pas dans le questionnement.
    Cependant, avec les courbes paramétrées, on l’a, je pense.

    Je n’ose pas utiliser le terme « géométrie différentielle » par méconnaissance sur le sujet.
  • Amathoué
    Amathoué
    Les courbes paramétrées sont, autant que je le sache, définies dans le cadre de l’analyse.
    Pour le questionnement, c’est le « cela pose question » qui m’a induit en erreur!
    Bon dimanche.
  • Dom
    Dom
    Ha ok, c’est vrai, je n’avais pas fait attention.
    Bon dimanche.
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