Série infinie pour $\zeta(2) \cdot \zeta(-1)$
Bonjour !
Quelqu’un peut-il prouver ou réfuter la conjecture suivante.
$$\large{\displaystyle\sum_{n=3}^{\infty}\frac{(-1)^{\frac{\varphi(n)}{2}}}{n^2}=\zeta(2) \cdot \zeta(-1)},$$
où $\varphi(n)$ est la fonction totient d’Euler et $\zeta(n)$ représente la fonction zêta de Riemann.
Le calcul numérique: SageMathCell.
Quelqu’un peut-il prouver ou réfuter la conjecture suivante.
$$\large{\displaystyle\sum_{n=3}^{\infty}\frac{(-1)^{\frac{\varphi(n)}{2}}}{n^2}=\zeta(2) \cdot \zeta(-1)},$$
où $\varphi(n)$ est la fonction totient d’Euler et $\zeta(n)$ représente la fonction zêta de Riemann.
Le calcul numérique: SageMathCell.
Réponses
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Les essais numériques ne le confirment pas : $\sum_{k\geq3}\frac{(-1)^{\varphi(k)/2}}{k^{2}}+\frac{\pi^{2}}{72}\simeq-6.23\times10^{-5}$.
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Non cela ne converge pas lentement il y a bien une différence d'ordre 10^-5 entre la valeur conjecturée et la valeur réelle de la série. Pas besoin d'aller poster sur un autre forum.
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En prenant ub = 300.000, on trouve une différence de l'ordre de $6\cdot10^{-5}$. Or le reste de la série $\sum_{k\ge n}1/n^2$ est majoré par $1/n$ (peut-être faut-il mettre un $2$ ?), ce qui fait $3\cdot10^{-6}$ environ. La conjecture ne semble pas valide.
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Il y a plein de jolies formules fausses.
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Peut-on calculer la somme de cette jolie série
$${\displaystyle\sum_{n=3}^{\infty}\frac{(-1 )^{\tfrac{\varphi(n)}{2}}}{n^2}} .$$ -
Peu de chance qu'il existe une forme "close".
La même série, mais portant uniquement sur les nombres premiers, a été déterminée par Glaisher en 1893 et vaut $\approx - 0,0946198928 \dotsc$ Voir aussi l'OEIS, suite A086240. -
Comme exemple de fausse belle formule (à $10^{-17}$ près) on a
$$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{-n^{2}}=\sqrt{\pi}\left(1+2e^{-\pi^{2}}\right).
$$ Ou plus impressionnant avec plus de $250$ décimales correctes :
$$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{-n^{2}/16}=4\sqrt{\pi}\left(1+2e^{-16\pi^{2}}\right),
$$ et une dernière pour rester dans le thème du fil
$$\sum_{n\geq1}\left\lfloor n\zeta(3)\right\rfloor 2^{-n}=\frac{2^{6}}{2^{5}-1}.$$
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