Comportement d'une suite

Dreamer · November 2021

Bonsoir.
Je tiens d'emblée à préciser que je recherche essentiellement des références ou des pistes de réflexions.

J'ai une suite réelle $(u_n)$ telle que $$\lim_{n \to \infty} u_n = k \in \R.

$$ J'ai commencé à analyser le comportement de $(v_n) = (u_n - k)$, il se trouve que $$\lim_{n \to \infty}\frac{v_n}{v_{n+1}} = k
.
$$ Je construis donc $(w_n) = (\frac{v_n}{v_{n+1}} - k)$ et j'obtiens $$\lim_{n \to \infty}\frac{w_n}{w_{n+1}} = k.

$$ Et ce comportement se poursuit avec les suites que je crée sur ce schéma.
Merci d'avance pour toute idée qui me permettrait de caractériser exactement la nature de la suite de départ.
À bientôt.

YvesM · November 2021

Bonjour,

Je croyais que la nature d'une suite est l'étude de la convergence. La suite $u$ converge vers $k.$

Pour $k>1$, tu as par exemple, $u_n = k + {1 \over k^n} (1+ {1 \over k^n})$ qui semble convenir aux relations données.

Dreamer · November 2021

Merci, YvesM.

Ce que j'entends par la nature de la suite est la façon qu'elle a de converger.

Je vais réfléchir sur ton exemple car il est relativement différent de mon problème, ce qui me donne au moins deux pistes.

Encore merci et à bientôt.

YvesM · November 2021

Bonjour,

Comme $v_n/v_{n+1}\to k$ alors il existe nécessairement une suite $x$ de limite $1$ telle que $v_n/v_{n+1}=k x_n.$
On reconnaît un produit télescopique : $v_1/v_{m+1}=k^m \prod_{n=1}^m x_n$.

On a donc $u_n=k+(u_1-1) k^{-n+1}\prod_{j=1}^{n-1} {1\over x_j}$.

La réciproque est vraie.

C’est donc une équivalence.

Tu as donc la façon dont $u$ converge selon la suite $x$ arbitraire de limite $1$ et non nulle.

Je te laisse écrire de même pour la suite $w$ en fonction d’une suite $y$ de limite $1.$

Puisque tu écris les rapports en $v$ et $w$, tu supposes que les suites $v$ et $w$ ne s’annulent jamais. Donc $x$ et $y$ ne s’annulent jamais.

Puis tu peux spécifier $x$ et $y$ pour faire converger $u$ de différentes façons.