Fonction à plusieurs variables

Si l'exercice était en une seule variable saurais-tu comment faire (passer du dl de f(x) à celui de exp(x)f(x)) ?

En traduisant simplement, si $g$ est la fonction qu'on veut on a que
$$g(x+h,y+k,z+l)=e^{xy}\big(1 + yh + xk + \frac{1}{2} y^{2}h^{2} + \frac{1}{2} x^{2}k^{2} + (1 + xy)hk\big) + O(||h,k,l||^{3})\times \\
\qquad \times\big(f(x,y,z) + a_{1}h + a_{2}k + a_{3}l + b_{1,1}h^{2} + b_{1,2}hk + \cdots+ b_{3,3}l^{2} + O(||h,k,l||^{3})\big).

$$ Et on a un "vrai" produit à manipuler (les $o$ ou $O$ peuvent être écrits autrement si on y voit des notations effrayantes).
(Je me suis pris à vouloir faire les calculs parce que ça faisait un moment que je ne m'étais pas entraîné à ça, désolé.
Il y a une notation compacte pour les termes d'ordre 2 de la parenthèse de droite au fait ?).
Personnellement je préférerais quand même calculer directement les dérivées de $g$.

Edit : merci beaucoup AD

J'avais oublié qu'on était en 0 spécifiquement.
Mais le DL en 0 de exp(xy) n'est heureusement pas 0 (ou plutôt 1 comme je pense que tu voulais le dire).

RLC, tu aurais pu supposer $x=y=0$ dans ce calcul. La justification de ce qu'il reste (très peu de termes !) vient du DL à l'ordre $1$ de l'exponentielle en $0$, dans lequel on substitue simplement $xy$ à la variable.

Attention, si on veut du cube c'est un grand O, si on veut un petit o c'est seulement du carré.
Enfin, ici non puisque visiblement les dérivées suivantes seront nulles mais c'est pour s'assurer qu'il n'y ait pas de confusion.