Convergence d'une série

Jean-charles
Jean-charles
dans Analyse
Bonjour
Soit la série de terme général $u_{n}=\exp\Big(\dfrac{(-1)^n}{n}\Big)-1$
$u_{n}$ est équivalent à $\dfrac{(-1)^n}{n}$ donc n'est pas de signe constant.
$\vert u_{n}\vert$ est équivalent à $\dfrac{1}{n}$ donc la série ne converge pas absolument.
J'ai essayé le TSSA avec $(-1)^n\vert\exp\Big(\dfrac{(-1)^n}{n}\Big)-1\vert$ mais le terme en valeur absolue n'est pas décroissant.

Du coup je bloque, auriez-vous une idée ?

Réponses

  • Chaurien
    Chaurien
    Développement limité.
  • Jean-charles
    Jean-charles
    A l'ordre 2 j'ai $u_{n}=\dfrac{(-1)^n}{n}+\dfrac{1}{2n^2}+o(\dfrac{1}{n^2})$

    Mais je ne vois pas ce que cela m'apporte de plus ?
  • Dom
    Dom
    C’est une égalité désormais (et non un équivalent qui nécessite en général de ne pas changer de signe pour pouvoir travailler).
    1) Tu sais que la série du premier terme converge.
    2) Tu sais que la série du second terme converge.
    3) Tu sais que la série du petit $o$ converge (à démontrer, c’est tout bête si tu as le « 2) »).

    On regroupe parfois 2) et 3) dans la même série.
  • Jean-charles
    Jean-charles
    le $o\Big(\dfrac{1}{n^2}\Big)$ est absolument convergent donc convergent. je n'avais pas pensé à ça...

    Merci Dom et Chaurien...
  • Dom
    Dom
    De rien, à ton service ;-)

    C’est super pratique les DL pour ça.
    Je pense à l’exemple classique où les équivalent ne permettent pas de conclure car le terme général change de signe.
    À savoir :
    $$
    \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \qquad\text{ et }\qquad \ln \Big(1+\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \Big)$$
  • Riemann_lapins_cretins
    Riemann_lapins_cretins
    L'équivalent "suffit" puisque le reste d'ordre 1 est un $O(1/n^{2})$.
    Remarque au passage pour grappiller sur les DL.
  • troisqua
    troisqua
    @Dom :

    Il n'est pas nécessaire de séparer en trois termes.

    Le premier terme est le terme général d'une série convergente et la somme des deux derniers termes est équivalente à $\frac{1}{2n^2}$ qui est positif et terme général d'une série convergente.

    Edit: je viens de voir que tu l'as écrit à la fin de ton message.
  • Dom
    Dom
    Riemann_lapins_cretins :
    Je n’avais pas compris ton message tout de suite.
    Tu parles bien du DL du fil et non de ma remarque je pense.
    Cela dit, pour le savoir, c’est grâce à un DL, non ? (même s’il existe peut-être une autre méthode)

    troisqua,
    Tu fais bien de le souligner quand même, d’ailleurs c’était l’objet de mon édit’ .
    Je persiste à croire que pédagogiquement c’est plus parlant. Mais ce n’est pas un argument, c’est très partial.
  • Riemann_lapins_cretins
    Riemann_lapins_cretins
    Oui je parlais bien à l'auteur du fil. C'est bien par le dl qu'on obtient le résultat mais y penser permet d'exploiter l'équivalent qu'on voit à l'œil nu pour s'éviter des calculs.
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