Montrer que la limite appartient à L_p(N)

Diasmine · November 2021

Bonjour à tous, je me pose une question pour montrer que $L_p(\N)$ où $p \in [1, +\infty[$ est un Banach.
Nous avons pris une suite $x_n$ de Cauchy dans $L_p(\N)$, et avons montré que pour tout $k$ dans $\N$, $x_n(k)$ est une suite de Cauchy dans $\R$, donc converge vers une limite que l'on a appelée $x(k)$.
Nous avons voulu montrer que plus généralement, $x_n$ converge vers $x$ dans $L_p(\N)$. Nous avons donc montré que la distance entre les deux convergeait vers 0 dans $L_p(\N)$, et il nous rester à montrer que $x$ appartenait bien à $L_p(\N)$.
Ce n'est pas très compliqué à montrer à la main, mais cela prend quand même quelques lignes, d'où me question.

Est-il autorisé de dire que comme $|||x_n|||_p$ est fini, par passage à la limite (continuité de la norme), $|||x|||_p$ est aussi fini ?

De plus, dans un exercice sur internet, il était écrit que comme $x_n$ tend vers $x$ dans $X$, alors $x$ appartient à $X$.
On a donc pas besoin de s'embêter à montrer que la limite appartient à l'espace en question ? C'est contenu dans le fait que ça converge directement ?
Si c'est aussi simple, je ne vois pas pourquoi lorsque l'on fait des exercices sur les Banach, on démontre soigneusement que la limite appartient à l'espace en question. J'imagine qu'il y a une subtilité de laquelle je passe à côté.
Merci beaucoup pour votre aide !

gerard0 · November 2021

Bonjour.

1) Quand tu passes à la limite, tu ne supposes pas déjà que c'est un Banach ? Que $x$ est dans $l_p(N)$ ?
2) Si $x_n$ tend vers $x$ dans $X$, tu as comme hypothèse que $x$ est déjà dans $X$ ("dans $X$").

Cordialement.

raoul.S · November 2021

Diasmine a écrit:

Est-il autorisé de dire que comme $|||x_n|||_p$ est fini, par passage à la limite (continuité de la norme), $|||x|||_p$ est aussi fini ?

Non tu ne peux pas dire ça (enfin tu peux le dire mais c'est faux...). Par exemple si tu prends la suite suivante dans $L_1(\N)$ :

$x_0 = (1,0,0,...)\\
x_1=(1,1/2,0,0,...)\\
x_2=(1,1/2,1/3,0,0,...)\\
\text{etc.}$

tu vois que la limite ponctuelle (ce que tu as nommé $x$ dans ton post) est : $x=(1,1/2,1/3,1/4,...)$

et pourtant $|||x|||_1=+\infty$.

Dans la preuve que tu as vu en cours, vous avez montré que la suite $(x_n)$ de $L_p(\N)$ converge ponctuellement vers une suite $x$, mais ensuite il faut montrer que ce $x$ est lui aussi dans $L_p(\N)$ et que la convergence est non seulement ponctuelle mais suivant la norme $|||.|||_p$, ce que vous avez fait d'ailleurs. Mais tu ne peux pas simplifier tu es obligé de faire ces vérifications.

Frédéric Bosio · November 2021

Je ne serais pas aussi catégorique que vous. Notamment, je me demande le sens précis de $\| | x_n \| | _p $ est fini. Cela signifie-t-il borné indépendamment de $n$ ?

Si c'est présenté ainsi, on peut être plus précis. On peut extraire de notre suite de Cauchy initiale une sous-suite pour laquelle la série des normes des différences de deux termes consécutifs de la sous-suite est convergente, et majorer la "norme" de la limite avec cela (ainsi cette limite est "automatiquement" dans l'espace voulu). C'est un résultat assez général, qui se rapproche beaucoup de la complétion d'un espace métrique quelconque.

Ceci dit, c'est peut-être ce qui a été fait dans le cas présenté ici, mais il est bon de savoir que c'est un résultat qui marche en gros tout le temps.

gerard0 · November 2021

Oui, tu pourrais avoir raison. Et cela illustre bien la différence entre parler d'une preuve ("on pourrait dire que ..") et la présenter, la rédiger. Si Diasmine avait rédigé sa preuve, on saurait quels sont ses arguments.

Cordialement.