Exponentielle matricielle de complexes

$\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}$@Frederic : $$z^A = e^{\log(z)A} = \sum_{i=0}^{\infty}\Bigg(\frac{\Big(-\sum_{j=1}^{\infty}\frac{(1-z)^j}{j}\Big)^iA^i}{i!}\Bigg)
$$ À quoi appartient ce truc. Pas à $\Mat_n(\mathbb{C}((z)))$ à cause du $(1-z)$ il me semble ?

@Poirot : tu réponds donc à la deuxième question, je suis ok. Qu'en est-il de la première ?

Pour donner un contexte, soit $A(z) \in\Mat_n(\mathbb{C}z)$ et soit le système différentiel formel singulier-régulier en $0$ : $$zX'(z) = A(z)X(z).
$$ J'ai un théorème qui dit qu'il existe une matrice $B \in\Mat_n(\mathbb{C}((z)))$ et une matrice $C \in\Mat_n(\mathbb{C)}$ (liées à la monodromie) telles que $\ Bz^C\ $ soit une matrice fondamentale de solutions formelles du système, i.e telle que chaque colonne est une solution formelle et que ces colonnes soients $\mathbb{C}$-linéairement indépendantes.

Je ne comprends pas à quel ensemble appartiennent les solutions formelles de la forme $Bz^C$ ainsi décrites. En fait même : qu'est-ce que ça veut dire une solution "formelle" ?

Je sais bien que $z^C$ en tant que fonction n'est définie que sur le revêtement universel de $\mathbb{C}^*$. Je vois donc les choses comme ça :

• soit $Bz^C$ est une matrice fondamentale de solutions du système definie sur le revêtement universel, et je ne vois pas pourquoi on appelle ces solutions "formelles" : elles sont bien définies sur quelque chose !
  
• Soit $Bz^C$ est une matrice de $\Mat_n(\mathbb{C}((z)))$ et alors je comprends le sens de "formelle", d'où ma question.

En vous remerciant, et veuillez m'excuser des bêtises qui peuvent être dites.

Cette définition possible ne me gêne pas. Mais quel est le rapport ?