Questions sur les anneaux

Homo Topi
Homo Topi
dans Algèbre
Je vais mettre dans ce fil, comme je l'annonçais ailleurs, des questions "en vrac" sur les anneaux.

1) Je trouve dans la littérature que tout anneau intègre qui est un anneau à PGCD est intégralement clos. Je cherche donc naturellement un exemple d'anneau intégralement clos qui n'est pas un anneau à PGCD.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    L'anneau $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ des entiers de $\mathbb Q(\sqrt{-5})$ est intégralement clos par définition, mais ce n'est pas un anneau à PGCD car par exemple $1+\sqrt{-5}$ divise $6 = 2 \times 3$ (puisque $6 = (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$) et $2$ et $3$ n'ont pas de diviseur commun, mais $1+\sqrt{-5}$ ne divise ni $2$ ni $3$.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Je n'ai pas répondu ici avec le déménagement du forum, merci. Je poserai ma prochaine question un peu plus tard.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    2) Parmi les anneaux qui sont à la fois des anneaux à PGCD et intègres, on trouve les anneaux de Bézout et les anneaux factoriels. Je n'ai pas trouvé de résultat comme quoi l'un impliquerait l'autre, donc : existe-t-il des anneaux de Bézout non factoriels, existe-t-il des anneaux factoriels qui ne sont pas de Bézout ?
  • b.b
    b.b
    Salut Homo Topi.

    On se retrouve encore sur un fil d'algèbre commutative :smile:.

    Pour la première question, l'anneau des fonctions holomorphes sur $\C$ est un anneau de Bézout non factoriel.
    Ensuite, comme exemple d'anneau factoriel qui n'est pas un anneau de Bézout, je propose $\C[X,Y]$ : l'idéal de type fini $\left(X,Y\right)$ n'est pas principal.

    Dommage que Claude ne participe plus au forum, il aurait sûrement eu plein d'infos intéressantes à partager.

  • Homo Topi
    Homo Topi
    Oui, j'essaie d'apprendre/de réapprendre l'algèbre commutative d'une manière qui me permet de retenir quelque chose. Le peu que j'en ai appris à la fac est insuffisant pour en faire quoi que ce soit, et la façon dont c'est fait dans les bouquins que j'ai rend tout le bazar assez confus (pour moi, en tout cas).

    Je ne sais pas pourquoi CQ ne participe plus au forum, mais il doit avoir ses raisons. Je me suis déjà pris la tête avec lui sur un malentendu, je ne sais pas si ça en fait partie... enfin tant pis. On doit pouvoir s'en sortir à plusieurs si l'on doit faire sans lui.

    Merci pour tes exemples en tout cas !
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