Décomposition en produit d'irréductibles
Bonjour
Sans utiliser la notion d'anneau principal,
je dois montrer que tout élément non nul d'un anneau EUCLIDIEN est :
ou bien inversible
ou bien le PRODUIT FINI d'éléments irréductibles de A.
Cette question vient après la lecture de propriétés d'un stathme f : A\ {0} dans N.
VOICI MON RAISONNEMENT (je ne sais pas du tout s'il est correct, complet ou incomplet...)
Je pensais raisonner par l'absurde :
c'est-à-dire qu'il existe x non nul , non inversible et qui n'est pas décomposable en produit d'éléments irréductibles et tel que f(x) est le plus petit possible.
Soit P = {p1, p2, ......} l'ensemble des éléments irréductibles de x.
Je sais donc que x n'est, lui-même, pas irréductible: en effet, sinon il serait égal à l'un des éléments de l'ensemble P.
Je peux écrire x = y1 d où y1 est un diviseur strict de x (donc y non multiple de x) et je suppose que y est lui aussi indécomposable.
Je sais, par propriété, que f est croissante donc f (x) = f (yd) > f (d).
Rien que cette inégalité contredit la minimalité de f (x).
Donc je déduis que x est bien décomposable en produit d'éléments irréductibles.
MAIS POURQUOI l'élément x n'aurait qu'un nombre FINI de tels éléments?
Voilà mon idée : J'ai l'impression que si je réitère le procédé présenté ci-dessus, j'obtiens une suite d'éléments de l'ensemble des entiers naturels : les f (dk). Cette suite est décroissante dans N et minorée par f (1) car j'ai la conviction qu'après un certain nombre d'itérations, je n'obtiens plus que des éléments inversibles. Rappel : un élément inversible u est tel que f (u) = f (1) .
Mais il me manque des arguments, je pense...
Et donc à partir d'un certain rang, je voudrais affirmer que j'ai terminé ma décomposition et donc que l'ensemble des irréductibles intervenant dans la décomposition de x est FINI.
Merci d'avance pour votre aide.
Sans utiliser la notion d'anneau principal,
je dois montrer que tout élément non nul d'un anneau EUCLIDIEN est :
ou bien inversible
ou bien le PRODUIT FINI d'éléments irréductibles de A.
Cette question vient après la lecture de propriétés d'un stathme f : A\ {0} dans N.
VOICI MON RAISONNEMENT (je ne sais pas du tout s'il est correct, complet ou incomplet...)
Je pensais raisonner par l'absurde :
c'est-à-dire qu'il existe x non nul , non inversible et qui n'est pas décomposable en produit d'éléments irréductibles et tel que f(x) est le plus petit possible.
Soit P = {p1, p2, ......} l'ensemble des éléments irréductibles de x.
Je sais donc que x n'est, lui-même, pas irréductible: en effet, sinon il serait égal à l'un des éléments de l'ensemble P.
Je peux écrire x = y1 d où y1 est un diviseur strict de x (donc y non multiple de x) et je suppose que y est lui aussi indécomposable.
Je sais, par propriété, que f est croissante donc f (x) = f (yd) > f (d).
Rien que cette inégalité contredit la minimalité de f (x).
Donc je déduis que x est bien décomposable en produit d'éléments irréductibles.
MAIS POURQUOI l'élément x n'aurait qu'un nombre FINI de tels éléments?
Voilà mon idée : J'ai l'impression que si je réitère le procédé présenté ci-dessus, j'obtiens une suite d'éléments de l'ensemble des entiers naturels : les f (dk). Cette suite est décroissante dans N et minorée par f (1) car j'ai la conviction qu'après un certain nombre d'itérations, je n'obtiens plus que des éléments inversibles. Rappel : un élément inversible u est tel que f (u) = f (1) .
Mais il me manque des arguments, je pense...
Et donc à partir d'un certain rang, je voudrais affirmer que j'ai terminé ma décomposition et donc que l'ensemble des irréductibles intervenant dans la décomposition de x est FINI.
Merci d'avance pour votre aide.
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Réponses
Soit $X$ l'ensemble des éléments non nuls, non inversibles et qui ne sont pas produit d'irréductibles. Tu supposes que $X$ est non vide.
[small]Remarque en passant : un produit est fini par définition...[/small]
Soit donc $x$ minimal (par rapport à $f$) parmi les éléments de $X$.
Donc $x$ ne peut être irréductible car autrement il ne serait pas dans $X$. Par conséquent, comme tu l'as dit, il existe alors $y,d$ non inversibles tels que $x=yd$.
Au moins un parmi les éléments $y$, $d$ n'est pas produit d'irréductibles, sinon $x$ le serait aussi. Supposons que ce soit $d$. Donc $d\in X$ et $f(d)\leqslant f(x)$. Par minimalité de $x$ on en déduit que $f(d)=f(x)=f(yd)$ et ceci entraîne (propriété des stathmes) que $y$ est inversible. Ce qui absurde.
Et là tu viens de prouver que tout élément non nul et non inversible est produit d'irréductibles.