Algèbres de type fini
dans Algèbre
Bonjour,
Soit $B$ une $A$-algèbre de type fini, donc engendrée comme $A$-algèbre par un nombre fini d'éléments $x_1, \cdots, x_n$.
Question que je me pose confusément depuis longtemps : peut-on écrire $B=A[x_1, \cdots, x_n]$, ou bien cette écriture est-elle réservée à l'$A$-algèbre de polynômes $A[X_1, \cdots, X_n]$ ?
(sachant que tout élément de $B$ peut s'écrire (de façon non unique en général) comme une combinaison $A$-linéaire de monômes $x_1 ^{m_1} \cdots x_n ^{m_n}, (m_1, \cdots, m_n) \in \mathbb N^n$, ce qui n'est pas le cas pour l'algèbre de polynômes)
Merci d'avance.
Soit $B$ une $A$-algèbre de type fini, donc engendrée comme $A$-algèbre par un nombre fini d'éléments $x_1, \cdots, x_n$.
Question que je me pose confusément depuis longtemps : peut-on écrire $B=A[x_1, \cdots, x_n]$, ou bien cette écriture est-elle réservée à l'$A$-algèbre de polynômes $A[X_1, \cdots, X_n]$ ?
(sachant que tout élément de $B$ peut s'écrire (de façon non unique en général) comme une combinaison $A$-linéaire de monômes $x_1 ^{m_1} \cdots x_n ^{m_n}, (m_1, \cdots, m_n) \in \mathbb N^n$, ce qui n'est pas le cas pour l'algèbre de polynômes)
Merci d'avance.
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Réponses
Il est habituel de réserver les majuscules Xk aux algèbres de polynômes et de noter par une minuscule xk la classe de Xk dans le quotient B.
Cordialement.
Comme les $x_i$ engendrent $B$, on a aussi $B\subset A[x_1,\ldots,x_n]$.
J'ai utilisé la définition Wikipédia, ils notent ça exactement comme tu fais. Effectivement, a première vue la notation peut porter à confusion : $A[x_1,...,x_n]$ est "habituellement" (si on peut parler d'habitude ici) la notation pour la $A$-algèbre libre générée par $\{x_1,...,x_n\}$, et là il est supposé qu'il n'existe pas de relations entre ces générateurs. Or dans ton cas, il se peut que des relations existent, et l'inconvénient, c'est que la notation $A[x_1,...,x_n]$ ne les précise pas, il faut le savoir dans le contexte. Mais en général, le contexte tu le connais, donc dans la pratique, en fait ça va.
Un résultat basique/fondamental dont j'ai vu la preuve récemment quand j'ai recommencé à m'intéresser à ça : toute $A$-algèbre de type fini est isomorphe à un quotient d'un $A[X_1,...,X_n]$ par un idéal. Où ici, $A[X_1,...,X_n]$ désigne bien l'algèbre des polynômes à $n$ indéterminées. Ce résultat est mentionné sur Wikipédia, d'ailleurs.
Cela peut paraitre évident a posteriori, mais je crois bien que je n'ai jamais vu cette définition quelque part. En tout cas, je vais me le mettre dans un coin de la tête.
Alors il est évident que $A[x_1, \cdots, x_n] \subset B$ (car $B$ est une $A$-algèbre contenant $x_1, \cdots, x_n$).
Maintenant si $B$ est engendrée comme $A$-algèbre par les $x_i$, cela veut dire exactement que $B$ est la plus petite $A$-algèbre contenant $x_1, \cdots, x_n$, donc $B$ est exactement $A[x_1, \cdots, x_n]$.
$B$ est dit alors "$A$-algèbre commutative de type fini".
Donc, dans ce cas, $x_1, \cdots, x_n$ n'ont pas besoin d'être algébriquement indépendants sur $A$ pour écrire cette égalité.
Pas lu encore ton message Homo Topi.
Dans le 2ème cas, les $x_1, \cdots, x_n$ ne sont pas forcément algébriquement indépendants sur $A$, il peut exister des relations entre les $x_i$, ce qui est faux dans le 1er cas.
Ok pour toute $A$-algèbre de type fini isomorphe à un quotient de $A[X_1,...,X_n]$ par un idéal.
Je trouve pour ma part que bien souvent les définitions de Wikipedia sont de plus en plus confuses : https://fr.wikipedia.org/wiki/Algèbre_de_type_fini. Le 1er paragraphe fait des digressions qui n'expliquent pas, et le 2ème n'est pas clair.
Les anneaux sont commutatifs, ok, et unitaires ? Les algèbres sont supposées commutatives ?
Et sinon, pour ta question sur les algèbres : les algèbres, ça devient compliqué. Une "algèbre commutative" est-elle commutative pour sa multiplication interne, ou pour celle par un scalaire ? Idem pour l'associativité. C'est pour éviter ce genre de trucs qu'on définit souvent les algèbres comme un anneau muni d'un morphisme d'anneaux : une $R$-algèbre $A$, c'est un anneau $A$ muni d'un morphisme d'anneaux $f : R \longrightarrow A$. Tu peux (enfin, tu devrais) vérifier que $r \cdot a := f(r) \times_A a$ munit bien l'anneau $A$ d'une certaine structure de $R$-algèbre à laquelle tu penses. Regarde qu'est-ce qui est associatif, qu'est-ce qui commute, etc. C'est un bon exercice pour clarifier les choses dans ta tête. Je le sais, je l'ai fait récemment pour exactement les mêmes raisons :-D
Une petite remarque, pour les algèbres en terrain commutatif (et disons de présentation finie) j'aime bien également y penser en terme de points ! Heu qu'est-ce que je veux dire ?
Et bien, notons par exemple $\Z[x,y] := \Z[X,Y] / \langle X^2+Y^2-1 \rangle$ avec $x$ et $y$ la classe de $X$ et $Y$ dans le quotient, et bien si je me donne un anneau $R$ et un point $(a,b) \in R^2$ du cercle d'équation $x^2+y^2 =1$, je peux construire une structure de $\Z[x,y]$-algèbre sur $R$ via le morphisme donné par $(x,y) \mapsto (a,b)$ et la multiplication externe est donné par $P \star r := P(a,b) \times r$ ( avec $\times$ la multiplication interne de $R$).
Ca fonctionne également dans l'autre sens, si $R$ est une $\Z[x,y]$-algèbre, j'ai un morphisme $\phi : \Z[x,y] \to R$ et un point $(a,b) := (\phi(x),\phi(y))$ vérifiant l'équation du cercle.
Bilan : une $\Z[x,y]$-algèbre c'est juste un anneau, muni d'un point du cercle à coefficient dans l'anneau.
Pareil, un morphisme de $\Z[x,y]$-algèbre entre $(R,(a,b))$ et $(R',(a',b'))$ se traduit par un morphisme d'anneau $\phi : R \to R'$ qui respecte le point choisit i.e $\phi(a) = a'$ et $\phi(b) = b'$.
Dans certains contextes, je trouve que c'est assez parlant.
Idem pour l'associativité : les anneaux $A$ et $B$ sont associatifs par les axiomes qui définissent les anneaux.
En effet, de définir une algèbre comme un anneau muni d'un morphisme d'anneaux tel que l'image du morphisme est inclus dans le centre de l'anneau, évite tous les problèmes.
Une algèbre commutative serait, à mon sens, une algèbre pour laquelle la multiplication interne est commutative (alors, pas besoin de préciser tel que l'image blabla). Quelqu'un peut confirmer ?
Sinon, l'ambiguïté dont on parlait plus haut ne se limite pas aux "petites" lettres. Par exemple, si on envisage les variables $Y_1, \cdots, Y_n \in k[X_1, \cdots, X_n]$, alors la famille $(Y_1, \cdots, Y_n)$ n'est pas forcément algébriquement indépendante sur $k$ ?
Mais si elle l'est, on a $k[Y_1, \cdots, Y_n] \cong k[X_1, \cdots, X_n]$ (mais on n'a pas l'égalité bien que $k[Y_1, \cdots, Y_n] \subset k[X_1, \cdots, X_n]$, les mystères de l'infini) ?
Pour le reste, ça dépend vraiment de la construction, des éléments que tu choisis, et des relations entre eux. Si je choisis $Y_1=X_1$ et $Y_2 = X_1^2+X_1$, j'ai $Y_2 = Y_1(Y_1+1)$, c'est une relation. Le truc amusant en algèbre, c'est qu'on peut fabriquer les relations qu'on veut en quotientant (d'aucuns diraient, par exemple les Maxtimax qui passeraient par ici à tout hasard, que c'est l'intérêt de la chose) par le bon truc. Tu veux que $X_k = Y_j$ ? Ben tu quotientes par (le truc engendré par) $X_k-Y_j$, qui devient donc $0$ dans le quotient, et paf c'est bon. Donc si tu veux qu'un truc soit non-indépendant, tu peux toujours l'obtenir en quotientant.
Si par contre tu veux quelque chose d'indépendant... réfléchissons (avant qu'un savant ne vienne tout expliquer). Regarde par exemple $k[X,Y]$, combien de polynômes "algébriquement indépendants" entre eux sais-tu fabriquer là-dedans ? En admettant bien sûr qu'il n'y ait aucune relation entre $X$ et $Y$.
Poirot, où est l'extension de corps ? En effet, $k[Y_1, \cdots, Y_n]$ n'est pas un corps (sauf si tous les $Y_i$ sont algébriques sur $k$) ?
A ce propos, $L:K$ étant une extension de corps, pourquoi dans la définition d'une base et du degré de transcendance de $L$ sur $K$ se limite-t-on aux corps, et n'inclut-elle pas les $K$-algèbres (ou même les $A$-algèbres), puisque la notion d' "algébriquement indépendants" est définie pour des éléments d'une $K$-algèbre, et que celle d' "entière" (i.e. algébrique) est définie pour une $A$-algèbre ?
flipflop, je ne vois pas comme ça l'intérêt de considérer un couple de points dans une algèbre.