Traduction et compréhension
"elements lifting modulo a nil-ideal"
Bonjour, j'ai trouvé cette phrase en lisant quelques articles sur le net mais je l'ai pas bien comprise, vu qu'elle est en anglais : "Idempotents lift modulo any nil idéal", ils ont l'utilisé pour montrer la proposition suivante.
Proposition 1.
Soient $R$ un anneau commutatif, $I$ un idéal nilpotent de $R$ et $r \in R$. Si $\bar{r}^2=\bar{r}$ alors $r^2=r$ (les classes modulo $I$).
Ma question que je n'arrive pas à montrer et que pour ça j'ai cherché est : est-ce que $\{ r\in R \mid r^n=r\}$ sont aussi "lift modulo any nil ideal" ($n$ entier supérieur à $2$), autrement dit, est-ce que la proposition suivante est juste ?
Proposition 2.
Soient $R$ un anneau commutatif, $I$ un idéal nilpotent de $R$ et $r \in R$. Si $\bar{r}^n=\bar{r}$ alors $r^n=r$ (les classes modulo $I$).
Merci d'avance.
Bonjour, j'ai trouvé cette phrase en lisant quelques articles sur le net mais je l'ai pas bien comprise, vu qu'elle est en anglais : "Idempotents lift modulo any nil idéal", ils ont l'utilisé pour montrer la proposition suivante.
Proposition 1.
Soient $R$ un anneau commutatif, $I$ un idéal nilpotent de $R$ et $r \in R$. Si $\bar{r}^2=\bar{r}$ alors $r^2=r$ (les classes modulo $I$).
Ma question que je n'arrive pas à montrer et que pour ça j'ai cherché est : est-ce que $\{ r\in R \mid r^n=r\}$ sont aussi "lift modulo any nil ideal" ($n$ entier supérieur à $2$), autrement dit, est-ce que la proposition suivante est juste ?
Proposition 2.
Soient $R$ un anneau commutatif, $I$ un idéal nilpotent de $R$ et $r \in R$. Si $\bar{r}^n=\bar{r}$ alors $r^n=r$ (les classes modulo $I$).
Merci d'avance.
Réponses
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Salut,
Pour chaque idéal $I$ de $A$, vérifiant $I^2 =0$, et pour chaque élément $\overline{x} \in A/I^2$ tel que $\overline{x} ^2 = \overline{x}$, il existe un élément $x \in A$ t.q $x = \overline{x} \pmod{I^2}$ et $x^2 = x$.
Pour l'existence du lifting, note $e'$ un relèvement quelconque de $\overline{x}$, et considère $e := 3e'^2- 2e'^3$ et vérifie que $e$ convient ! -
Time : tes propositions sont mal formulées, telles quelles même la proposition 1 est fausse. Tu veux dire que si $r$ est idempotent dans $R/I$, alors il existe un antécédent qui est idempotent, mais pas tous a priori. Avec cette modification, la proposition 2 est déjà plus raisonnable, mais j'avoue ne pas savoir la réponse.
(les preuves que j'ai vues pour le cas $n=2$ ne me satisfaisant en général, je me suis fait plaisir à trouver une preuve "géométrique" qui marche bien, mais vu sa tête elle n'a aucune chance de s'appliquer pour $n>2$.
Ce qui est amusant c'est que, si par exemple $n=p+1$ avec $p$ premier, alors une conséquence (avec un peu de travail mais pas trop) serait par exemple que sur $\Q$ on peut toujours relever les racines $p$-èmes de l'unité le long d'extensions nilpotentes... Ce qui me surprend le plus c'est que ça a l'air possible sur $\Q[x]/\Phi_p^2\to \Q(\zeta_p)$, alors que je m'attendais à ce que soit un contre-exemple "évident") -
Ah je suis bête, il suffisait de ne pas aller sur $\Q$.
Je considère $\Z[x]/(x^3-1)^2 \to \Z[x]/(x^3-1)$, qui est bien surjective de noyau de carré nul.
Dans le quotient, $x^4 = x$, donc si la proposition 2 était vraie on devrait pouvoir trouver un $y = x + (x^3-1)P$ qui vérifie ça aussi -$P$ est à coefficients entiers. Puisque $x$ est inversible dans le quotient, et que le noyau est nilpotent, $y$ doit aussi être inversible, donc en fait on a même $y^3 = 1$.
Ecrivons cela : $0= (x+(x^3-1)P)^3 - 1 = x^3 + 3(x^3-1)P^2 - 1 $ (les autres termes contiennent un $(x^3-1)^2$ et sont donc nuls).
Ainsi, $(x^3-1)(1 + 3P^2) = 0$, donc $1+3P^2$ est divisible par $x^3-1$. Par exemple, $1+3P^2 = (x^3-1)Q$. Si j'évalue en $1$, j'en déduis que $3P^2(1) = -1$, ce qui est absurde (tout est à coefficients entiers), et donc il n'y a pas de tel relevé.
En particulier, cela ne marche en général que pour $n=2$, ce qui confirme l'intuition que ça "doit" être un fait géométrique (par ailleurs, ça suggère aussi que les preuves géométriques sont plus adaptées, puisqu'une preuve "par calcul" ne montre pas immédiatement pourquoi elle ne peut pas s'adapter à $n>2$) -
Salut Max
Qu'est-ce que tu voudrais généraliser ? Je veux dire ces histoires sont liées aux caractères étale, lisse et non ramifié des équations. Ici l'équation idempotente $x^2=x$ est étale donc on a l'existence et l'unicité des relèvements le long de $R \to R/I$ pour tout anneau $R$ et tout idéal vérifiant $I^2 = 0$ (et pour tout idéal nilpotent en fait), et c'est explicite !
Dans d'autre cas d'équation, par exemple $x^2+1 =0$ c'est étale uniquement sur $\Z[1/2]$ et tu peux relever des solutions $R \to R/I$ uniquement lorsque l'anneau $R$ voit $2$ inversible. -
flipflop : Beh c'est pas moi qui veut généraliser, c'est Time :-D (relis le post initial ;-) )
-
oups, je n'avais lu que le début :-D
Hum, je pense qu'il (et il suffit) que le discriminant du polynôme cyclotomique $\Phi_{n-1}$ soit inversible dans l'anneau $R$ de l'extension nilpotente $R \to R/I$ pour garantir le lifting des solutions de $x^n = x$ ! Pour $n = 4$, dans ta contradiction tu vois qu'elle provient du fait que $3$ n'est pas inversible, et le discriminant de $\Phi_3$ est $-3$. -
Je pense que c'est juste $n-1$ inversible !
Un petit exemple pour réviser :-D
Je relève une solution de $x^{18} = x$ au dessus de la solution $13$ dans $\Z/103 \Z$ le long de $\Z/103^2 \Z \to \Z/103 \Z$.sage: sage: QX.<x> = QQ[] ....: sage: P = lambda n: x^n-x ....: P18 = P(18) ....: sage: Pp18 = P18.derivative() ### 13 est solution de x^18 = x dans R = Z/103Z sage: 13^18%103 == 13 % 103 True sage: d,u,v = xgcd(P18,Pp18) ### méthode de Newton sage: iter = lambda t: t - v(13) * P18(t) sage: iter(13) -17510148765318942251206430253397353962911/17 ### on voit le n-1 en dénominateur sage: sol = iter(13)%(103^2) sage: sol 5678 sage: 5678^18%(103^2) == 5678 ### 5678 est solution de x^18 = x dans Z/ (103^2Z) True
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Bonjour!
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