Parité dimension et $-Tr(A) \in \mathbb N$
dans Algèbre
Bonsoir, si on prend $A \in M_n(\R)$ telle que $A^4+A^3+2A^2+A+I_n = 0$, quelle est la partié de $n$ ? J'aimerais aussi montrer que $-\text{Tr}(A) \in \mathbb N$. Alors $A$ est annulée par $P = X^4+X^3+2X^2+X+1=0$ qui a déjà $i$ comme racine évidente. Comme il est a coefficients réels, $-i$ est aussi racine : $P = (X-i)(X+i)(X^2+X+1)$ : les racines de $P$ sont $i, -i, j^2, j$. Ses racines sont donc des valeurs propres de $A$ car les valeurs propres de $A$ sont des racines des polynômes annulateurs.
Je ne sais pas vraiment quoi dire d'autre... Pourriez-vous m'aider ? Merci d'avance
Je ne sais pas vraiment quoi dire d'autre... Pourriez-vous m'aider ? Merci d'avance
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Donc $Tr(A) = \omega(j)(j+j^2) = - \omega(j)$. D'où le résultat.
Malheureusement je n'ai pas prouvé que $P$ est le polynôme caractéristique de $A$, et donc que les racines sont les valeurs propres de $A$. J'ai simplement que parmi les racines de $P$, il y avait les valeurs propres.
Oui mais je n'ai pas montré que $j$ et $i$ sont des racines du polynôme caractéristique car on n'a pas montré qu'elles sont valeurs propres de $A$.
Dans le cadre de la diagonalisation, cela simplifie pas mal de choses car dès qu'on a un polynôme annulateur (et que l'on sait que le polynôme caractéristique est scindé sur le corps considéré), on peut faire les calculs de trace (ou de déterminant) en utilisant les racines du polynôme annulateur, qu'elles soient valeurs propres ou non.
Donc si je comprends bien, si on a un polynôme annulateur, il suffit de prendre ses racines : la trace est alors la somme des racines multipliés par leur multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique. Si elles ne sont pas racines, on prendra une multiplicité nulle.