Isomorphismes de groupes

Bonjour à toutes et à tous,

Je cherche à démontrer l'affirmation suivante : si $f : (G,.)\to (H,*)$ est un morphisme de groupes, alors son application réciproque $f^{-1} : H\to G$ est aussi un isomorphisme de groupes.

Voici mes idées...
Si $f$ est un isomorphisme de groupes, alors $f$ est une bijection , donc $f^{-1}$ aussi. Il suffit de montrer que $f^{-1}$ est un morphisme de groupes.
Je souhaite donc démontrer que pour tout $x$ et $y$ dans $H$, $f^{-1}(x*y)=f^{-1}(x).f^{-1}(y)$.

Soient donc $x$ et $y$ dans $H$. Puisque $f$ est bijective, alors il existe $x'$ dans $G$ et $y'$ dans $G$ tels que $f(x')=x$ et $f(y')=y$.
On a donc :
$$f^{-1}(x*y)=f^{-1}(f(x')*f(y'))=f^{-1}(f(x'))*f^{-1}(f(y'))$$

Ma question est la suivante : est-ce que j'ai le droit d'écrire cette dernière égalité ?

Merci d'avance pour vos remarques.