Sur le polynôme caractéristique
dans Algèbre
Bonjour
Je voudrais savoir quels sont les cas où le polynôme caractéristique d'un endomorphisme n'est pas scindé : en effet, avec ce qui suit, j'ai bien l'impression qu'il l'est toujours...
On se place en dimension finie,
Considérons un endomorphisme $f$ avec des valeurs propres distinctes $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_r$. Pour $i \in \{1, \dots, r\}$, je note $P_i = (\lambda_i - X)^{\alpha_i}$, où $\alpha_i$ est l'ordre de multiplicité de $\lambda_i$ comme racine du polynôme caractéristique $P$.
Alors, comme $P$ a exactement comme racines les valeurs propres, je peux factoriser de sorte que $$\exists \alpha \in \R^*,\qquad P = \alpha \prod_{i=1}^r P_i.
$$ Mais $P = X^r - \text{Tr}(f)X^{r-1} + \dots + (-1)^r \det(f)$ ce qui assure que $\alpha = 1$.
Donc $P$ est scindé.
Par ailleurs, par Cayley-Hamilton, on aura toujours que l'espace $E$ est la somme directe des $\ker(P_i)$ (car les $P_i$ sont premiers entre-eux. Cela me paraît un peu trop simple...
Je voudrais savoir quels sont les cas où le polynôme caractéristique d'un endomorphisme n'est pas scindé : en effet, avec ce qui suit, j'ai bien l'impression qu'il l'est toujours...
On se place en dimension finie,
Considérons un endomorphisme $f$ avec des valeurs propres distinctes $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_r$. Pour $i \in \{1, \dots, r\}$, je note $P_i = (\lambda_i - X)^{\alpha_i}$, où $\alpha_i$ est l'ordre de multiplicité de $\lambda_i$ comme racine du polynôme caractéristique $P$.
Alors, comme $P$ a exactement comme racines les valeurs propres, je peux factoriser de sorte que $$\exists \alpha \in \R^*,\qquad P = \alpha \prod_{i=1}^r P_i.
$$ Mais $P = X^r - \text{Tr}(f)X^{r-1} + \dots + (-1)^r \det(f)$ ce qui assure que $\alpha = 1$.
Donc $P$ est scindé.
Par ailleurs, par Cayley-Hamilton, on aura toujours que l'espace $E$ est la somme directe des $\ker(P_i)$ (car les $P_i$ sont premiers entre-eux. Cela me paraît un peu trop simple...
Réponses
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Il faut que tu fasses attention à un détail. "Le polynôme $P$ est scindé" est une phrase qui ne veut rien dire. Il faut préciser sur quel corps. $X^2+1$ est scindé sur $\C$ parce que d'Alembert-Gauss, mais il est irréductible sur $\R$. C'est extrêmement facile de construire une matrice dont le polynôme caractéristique est $X^2+1$, donc selon le corps de base de ton espace vectoriel, tu as déjà un exemple d'endomorphisme où ça peut planter.
PS : comment tu définis le polynôme caractéristique en dimension infinie ? Le déterminant, en dimension infinie, ça ne me dit rien. -
Le problème est que tu oublies le corps sous-jacent à ton espace vectoriel.
En gros, tu sous-entend qu'une fois que tu connais les racines de ton polynôme, leurs multiplicités et le coefficient dominant, tu le connais en entier. Or il n'en est rien en général : ce n'est déjà pas vrai sur $\R$.
Par exemple, dans $M_2(\R)$, la matrice $A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ a pour polynôme caractéristique $\chi_A=X^2+1$ qui n'est pas scindé sur le corps $\R$. -
Ah d'accord, donc je ne peux pas conclure que $P$ est scindé simplement parce qu'il possède exactement les $\lambda_i$ distincts comme racines.
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Ben oui mais pourquoi tu pars d'un polynôme caractéristique scindé si tu cherches à savoir s'il existe des endomorphismes dont le polynpome caractéristique n'est pas scindé ?
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Parce que pour moi, si les $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ sont exactement les racines d'un polynôme $P$, alors il s'écrit $P = \alpha \prod_{i=1}^r (X-\lambda_i)^{\alpha_i}$. Mais cela dépend en fait du corps.
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Mais alors il y a une chose dont je ne suis pas sûr.
Si $E$ est un $\K$-espace vectoriel,
J'ai vu que si $u \in \mathcal{L}(E)$ est annulé par un polynôme scindé sur $\K$, alors $E$ est la somme directe de sous-espaces stables par $u$, sur chacun desquels $u$ induit la somme d'un homothétie et d'un endomorphisme nilpotent (décomposition de Dunford).
On demande de prouver le même résultat dans le sujet Mines 2011 Math 1, où on définit simplement dans le sujet les $P_i = (\lambda_i - X)^{\alpha_i}$ et $P$ le polynôme caractéristique. On prend $E = \C^n$ et $P$ est à coefficients complexes (je le suppose car il est seulement dit que les $\lambda_i$ sont à valeurs complexes).
Il faut alors aboutir à $P = \prod_{i=1}^r P_i$. Pour cela, je justifie que $P$ est à coefficients complexes, donc scindé d'après d'Alembert-Gauss, ce qui me permet cette fois bien d'écrire $P = \alpha \prod_{i=1}^r P_i$ car il a exactement les $\lambda_i$ comme racines ? -
Encore une fois, tu ne te poses pas les bonnes questions !
La bonne question c'est de savoir quel est le corps $\K$ sur lequel ton ensemble $E$ devient un espace vectoriel.
En effet, les valeurs propres d'un endomorphisme de $E$ seront par définition dans ce corps $\K$.
Le polynôme caractéristique sera à coefficients dans ce même corps, etc.
Sur quel(s) corps, $E=\C^n$ est-il un espace vectoriel ? -
Si les multiplicités correspondent, oui, ça colle.
Mais ta question actuelle n'est pas du tout celle que tu posais au début. Par rapport à ta question de départ, ton procédé n'avait pas beaucoup de sens.
En attendant, il faut bien avoir conscience que ce que tu fais marche principalement parce qu'on est sur $\C$. Sur un corps qui n'est pas algébriquement clos, comme $\R$, si tes valeurs propres ne sont pas réelles, scinder le polynôme caractéristique sur $\C$ n'a pas de raison de fournir une matrice réduite à coefficients réels intéressante.
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