Fonctions de matrices symétriques

Bonjour,

Avant de m'attaquer à la suite qui a l'air plus dure, mes réponses aux questions 5, 6 et 7 sont-elles correctes ? J'ai fait ça en 30 min.

Question $5$ :
Soit $S \in S_n(I)$ donc $Sp(S) \subset I$. Ainsi, $\forall i \in [|1,n|] \ s_i \in I$
$S$ est symétrique réelle, elle est donc diagonalisable dans une base de vecteurs propres. Il existe $P$ orthogonale telle que $diag(s_i)=P^T S P$ et donc $S=P diag(s_i) P^T$

Il suffit de poser $\Omega = P^T$.

Question $6$ :
Je ne suis pas sûr de moi pour cette question. J'ai relu le cours sur les polynômes interpolateurs de lagrange.

On pose $P(X)=\displaystyle\sum_{j=1}^n f(s_j) l_j(X)$ où $l_j(X)=\displaystyle\prod_{k \ne j} \dfrac{X-s_k}{s_j-s_k}$

Ainsi $P(s_i)=\displaystyle\sum_{j=1}^n f(s_j) \delta_{ij} =f(s_i)$

Question $7$ :

$\Omega ' ^T diag (f(s_i ')) \Omega '= \Omega ' ^T diag (P(s_i ')) \Omega ' \\
= P( \Omega ' ^T diag (s_i ') \Omega ' ) \\
= P( \Omega ^T diag (s_i ) \Omega ) \\
= \Omega ^T P(diag (s_i )) \Omega ) \\
= \Omega ^T diag (P(s_i )) \Omega \\
= \Omega ^T diag (f(s_i )) \Omega $