Pas que des racines réelles
Je ne vois pas comment utiliser l'indication "Penser aux relations entre racines et coefficients d'un polynôme" pour montrer que si $Q$ est un polynôme à coefficients réels alors le polynôme $P(X)=X^3Q(X)+X^2+X+1$ n'a pas que des racines réelles.
Un petit coup de pouce svp. Merci
Un petit coup de pouce svp. Merci
Réponses
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Si P n’a que des racines réelles, notons $ r$ une racine réelle $P(r)=0$ donc contradiction à trouver.
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Essaie de calculer la somme des inverses des carrés des racines de P.
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Merci Pea. Je vais regarder ça.
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Moi je regarde le polynôme réciproque, comme on disait naguère : si $\deg P=n$, alors $\widetilde{P}(X)=X^{n}P(\frac{1}{X})$. On obtient ce polynôme réciproque $\widetilde{P}$ en prenant les coefficients de $P$ dans l'ordre inverse. Par exemple, si $P(X)=3X^3+4X^2-2X+5$, alors $\widetilde{P}(X)=5X^3-2X^2+4X+3$.
Dans l'exercice en question, utiliser l'indication avec ce polynôme réciproque, regarder la somme des racines et la somme des carrés des racines.
Bonne journée.
Fr. Ch. -
Merci Chaurien avec l'indication de Pea j'étais arrivé à
Si $P(X)=c(X-r_{1})..(X-r_{n})$ et si je considère $T(X)=c'(X-1/r_{1})..(X-1/r_{n})=t_{n}X^{n}+t_{n-1}X^{n-1}+...+t_{0}$
j'obtiens
$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{r_{k}^{2}}=\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{r_{k}}\right)^{2}-2\sum_{1\leq i<j\leq n}\frac{1}{r_{i}r_{j}}$
et donc
$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{r_{k}^{2}}=\sigma_{1}\left(T\right)-2\sigma_{2}\left(T\right)=-\frac{t_{n-1}}{t_{n}}-2\frac{t_{n-2}}{t_{n}}$
Avec le polynôme réciproque j'arrive plus facilement à $\sum_{k=1}^{n}r_{k}^{2}=-1$ et forcément il y a des racines non réelles.
Mais franchement sans savoir que c'était la somme des carrés qu'il fallait utiliser je n'aurai jamais trouvé. -
L'indication était très utile.
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