Pas que des racines réelles
Je ne vois pas comment utiliser l'indication "Penser aux relations entre racines et coefficients d'un polynôme" pour montrer que si $Q$ est un polynôme à coefficients réels alors le polynôme $P(X)=X^3Q(X)+X^2+X+1$ n'a pas que des racines réelles.
Un petit coup de pouce svp. Merci
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Réponses
Dans l'exercice en question, utiliser l'indication avec ce polynôme réciproque, regarder la somme des racines et la somme des carrés des racines.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Si $P(X)=c(X-r_{1})..(X-r_{n})$ et si je considère $T(X)=c'(X-1/r_{1})..(X-1/r_{n})=t_{n}X^{n}+t_{n-1}X^{n-1}+...+t_{0}$
j'obtiens
$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{r_{k}^{2}}=\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{r_{k}}\right)^{2}-2\sum_{1\leq i<j\leq n}\frac{1}{r_{i}r_{j}}$
et donc
$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{r_{k}^{2}}=\sigma_{1}\left(T\right)-2\sigma_{2}\left(T\right)=-\frac{t_{n-1}}{t_{n}}-2\frac{t_{n-2}}{t_{n}}$
Avec le polynôme réciproque j'arrive plus facilement à $\sum_{k=1}^{n}r_{k}^{2}=-1$ et forcément il y a des racines non réelles.
Mais franchement sans savoir que c'était la somme des carrés qu'il fallait utiliser je n'aurai jamais trouvé.