Idéal et surjection canonique
Bonjour
Dans un document, j’ai trouvé l’exercice suivant.
Soit $A$ un anneau commutatif. Soit $I$ un idéal de $A$ tel que $\forall i \in I,\ \exists n \geq 1,\ i^n = 0$. Montrer que la surjection canonique $A \to A/I$ induit une surjection au niveau du groupe des inversibles.
On aimerait donc montrer que pour chaque $a \in A,\ \{ a + i\mid i \in I \}$ contient un élément inversible.
Mais je n’ai aucune idée de comment utiliser la nilpotence des éléments de $I$ pour démontrer une telle chose.
Je vous serais reconnaissant si vous pouviez me donner une petite indication.
Merci d’avance.
Bonne journée.
Dans un document, j’ai trouvé l’exercice suivant.
Soit $A$ un anneau commutatif. Soit $I$ un idéal de $A$ tel que $\forall i \in I,\ \exists n \geq 1,\ i^n = 0$. Montrer que la surjection canonique $A \to A/I$ induit une surjection au niveau du groupe des inversibles.
On aimerait donc montrer que pour chaque $a \in A,\ \{ a + i\mid i \in I \}$ contient un élément inversible.
Mais je n’ai aucune idée de comment utiliser la nilpotence des éléments de $I$ pour démontrer une telle chose.
Je vous serais reconnaissant si vous pouviez me donner une petite indication.
Merci d’avance.
Bonne journée.
Réponses
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Ton énoncé est étrange.
Tel quel, il implique par exemple que $A$ est l'anneau nul puisque $0\in I$.
Sinon, dans un anneau intègre, il y a assez peu d'éléments nilpotents. -
Au temps pour moi, recopier un énoncé de maths sur un téléphone ce n’est pas pour moi: $A$ est commutatif, et non intègre. De plus, c’est $i^n = 0$, pas 1.
Désolé … -
Tu peux montrer que si $x\in A$ vérifie $\pi(x)$ inversible ($\pi$ la projection canonique), alors $x$ est inversible.
À la fin tu verras que ça revient à montrer que $1+i$ est inversible pour tout nilpotent $i$. -
Salut,
Un résultat a connaître :
1. Soit $A$ un anneau commutatif, soit $i \in A$ tel qu'il existe $n \in \N$ tel que $i^n = 0$, alors $1+i$ est inversible. (a faire en exercice).
Ensuite en utilisant $1$, tu peux montrer que dans le contexte de l'exercice q'un élément $a \in A$ est inversible si et seulement si $\pi(a)$ est inversible. -
Merci pour vos réponses ! Je n’avais en fait pas tout à fait compris l’énoncé, mais maintenant c’est bon.
Bonne journée. -
L'hypothèse de commutativité est-elle vraiment nécessaire ?Après je bloque.
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Bonjour!
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