Idéaux d'une algèbre de type fini
J'ai essayé de décrire l'ensemble $\dfrac{k[X_1,...,X_n]}{\sqrt{(P_1,...,P_r)}}$. Si $A \in k[X_1,...,X_n]$, alors $\overline{A} = \{A+B \mid B \in \sqrt{(P_1,...,P_r)}\}$, et $B \in \sqrt{(P_1,...,P_r)}$
signifie qu'il existe $m \geqslant 1$ tel que $B^m = P_1Q_1+\dots+P_rQ_r$, où les $Q_i \in k[X_1,...,X_n]$.
Bon, du coup, j'ai une idée grossière de ce que je regarde.
Maintenant, la question que je me pose, c'est : les idéaux de ce machin (en particulier les idéaux premiers et maximaux, of course, tout le monde m'a vu venir), ça ressemble à quoi ?
Je suppose qu'il y a une manière "réfléchie" de les trouver. Enfin, j'espère. Parce que d'y aller avec la définition brute, ça ne me tente pas. Les idéaux en général de cet anneau peuvent probablement ressembler à tout et n'importe quoi, alors je ne vois pas trop comment procéder...
signifie qu'il existe $m \geqslant 1$ tel que $B^m = P_1Q_1+\dots+P_rQ_r$, où les $Q_i \in k[X_1,...,X_n]$.
Bon, du coup, j'ai une idée grossière de ce que je regarde.
Maintenant, la question que je me pose, c'est : les idéaux de ce machin (en particulier les idéaux premiers et maximaux, of course, tout le monde m'a vu venir), ça ressemble à quoi ?
Je suppose qu'il y a une manière "réfléchie" de les trouver. Enfin, j'espère. Parce que d'y aller avec la définition brute, ça ne me tente pas. Les idéaux en général de cet anneau peuvent probablement ressembler à tout et n'importe quoi, alors je ne vois pas trop comment procéder...
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Réponses
Il serait beau que les idéaux maximaux/premiers du quotient soient les images de deux de $k[X_1,...,X_n]$ par la surjection canonique, mais je ne sais pas si c'est vrai. Je regarderai les différentes formes du théorème des zéros un peu plus tard, ça m'en apprendra déjà un peu plus, visiblement.
$A$ est donc supposée générée sur $K$ par $x_0,...,x_n$. Donc : tout $x \in A$ s'écrit $x=P(x_0,...,x_n)$ avec $P \in K[X_0,...,X_n]$.
Je suis d'accord pour dire que $A$ est bien engendrée par $x_1,...x_n$ sur $K(x_0)$. Ce que ça veut dire, c'est : tout élément $x \in A$ s'écrit $x = Q(x_1,...,x_n)$ avec $Q \in K(x_0)[X_1,...,X_n]$.
Maintenant, ils annoncent que "par hypothèse de récurrence", $x_1,...,x_n$ sont annulés par des polynômes $P_1,...P_n$ à coefficients dans $K(x_0)$ et unitaires.
Heu... pardon ? Non, l'hypothèse de récurrence, traduite littéralement, c'est ce que j'ai écrit avec le polynôme $Q$. En plus, un polynôme unitaire, c'est un polynôme en une seule indéterminée, donc je suis censé avoir $P_i \in K(x_0)[X]$ tel que $P_i(x_i)=0$ pour tout $i \in \{1,...,n\}$.
C'est censé sortir d'où, ce truc ?
(Le fait que $A$ est bien de type fini n'est pas lié au lemme de Zariski, c'est vrai sans aucune hypothèse)
La dernière étape me pose problème à chaque mot ou presque :
- si $x_0$ était transcendant sur $K$, alors $K[x_0]_f$ serait intégralement clos, donc égal à $K(x_0)$ : il faudrait d'une part que la clôture intégrale de $K[x_0]_f$ dans son corps des fractions soit $K[x_0]_f$ lui-même, et d'autre part que le corps des fractions de $K[x_0]_f$ soit $K(x_0)$. Pour ce deuxième point, je pense comprendre : $K(x_0)$ est le corps des fractions de $K[x_0]$, donc c'est le "localisé maximal" de $K[x_0]$, et $K[x_0]_f$ est un localisé "intermédiaire" donc le corps des fractions de $K[x_0]_f$ est le même que celui de $K[x_0]$.
Donc pour le premier point : il faudrait que chaque élément de $K(x_0)$ qui est entier sur $K[x_0]_f$ soit un élément de $K[x_0]_f$. Soit donc $r \in K(x_0)$ un élément entier sur $K[x_0]_f$ : il existe donc un polynôme $P$, à coefficients dans $K[x_0]_f$, unitaire, tel que $P(r)=0$. Il faut montrer que $r \in K[x_0]_f$. Il faut forcément que j'utilise le fait que $x_0$ est transcendant sur $K$ : d'après ceci, j'ai $K[x_0] \simeq K[X]$, je ne sais pas encore comment m'en servir.
- il est absurde que $K[x_0]_f = K(x_0)$ d'après "le point précédent" de leur preuve. Heu... quoi ?
Post-scriptum complètement hors-sujet dédié aux modérateurs du forum : la barre espace de mon ordinateur portable fait des siennes depuis quelques jours, parfois elle fait des espaces doubles et parfois elle ne fait pas d'espace du tout. Je corrige moi-même toutes les fautes que je vois, j'espère que vous n'aurez pas trop de travail avec mes messages. Je préviens quand même, puisque je poste souvent.
2) Un anneau principal est intégralement clos. Preuve : la preuve usuelle que $\mathbb Z$ est intégralement clos.
Ainsi si $x_0$ est transcendant, $K[x_0]$ est principal et donc son localisé aussi, et il est donc intégralement clos. Puisque $A$ est entière sur $K[x_0]_f$ et que $K(x_0) \subset A$, il s'ensuit que $K(x_0)$ est entier sur $K[x_0]_f$. Puisque ce dernier est intégralement clos, ils sont égaux (je pense que tu as mal lu : "d'après le point précédent" était pour prouver que $K(x_0)$ est entier sur $K[x_0]_f$, pas pour dire "contradiction")
Finalement, on sait qu'ils ne sont pas égaux puisqu'on n'a inversé qu'un nombre fini de polynômes et que tout corps a un nombre infini de polynômes irréductibles (c'est le cas $n=1$ de la récurrence en quelque sorte, qui aurait pu être traité à part)
En fait c'est plutôt dans ce dernier paragraphe qu'on utilise la transcendance de $x_0$
Donne-moi ce petit indice : cette "caractérisation" des idéaux d'un localisé ($I$ est un idéal du localisé ssi $I \cap A$ est un idéal de $A$) se prouve-t-elle avec la propriété universelle du localisé ?
Sinon, je n'ai jamais vu que $\Z$ est intégralement clos (cf ce que je disais sur l'algèbre commutative). Je vais voir si j'arrive à en faire une preuve.
Pour ta question sur les idéaux du localisé, c'est une vérification immédiate : si $I$ est un idéal d'un sur-anneau $B$ de $A$ alors $I \cap A$ est un idéal de $A$. La réciproque est évidemment fausse dès que $A \subsetneq A_S$ (prendre $I = J \cup \{x\}$ où $J$ est un idéal de $A$ et $x$ un élément de $A_S \setminus A$).
$\Z$ est intégralement clos ssi tout rationnel qui annule un polynôme unitaire à coefficients entiers est un entier. On sait déjà que tout entier est entier sur les entiers* (:-D) avec les polynômes $X-n$ pour tout $n \in \Z$.
Soit donc $\dfrac{a}{b}$ une fraction irréductible annulée par $P(X)=X^n+ k_{n-1}X^{n-1}+...+k_1X+k_0$, avec les $k_i \in \Z$.
Alors $a^n=-b(k_{n-1}a^{n-1}+...+k_1ab^{n-2} + k_0b^{n-1})$, donc $b$ divise $a^n$.
Comme $b$ est premier avec $a$ par hypothèse, en appliquant le lemme de Gauss à la chaîne, on trouve que $b$ divise forcément $a$, donc $b=1$.
Donc $\Z$ est intégralement clos.
EDIT/ajout : le lemme de Gauss est valable dans tout anneau principal, le seul détail qu'il faudrait que je rafraichisse est donc le suivant : dans le corps des fractions d'un anneau principal quelconque, une fraction admet-elle toujours une forme irréductible ? A voir.
*Je sais que ça ne sert à rien de le mettre en évidence, mais ça me faisait marrer.
Il faudrait peut-être que je me fasse un gros cours sur tous les anneaux commutatifs, vu tout le bazar qui existe. Comme me l'avait dit mon prof de théorie de Galois... "les anneaux, c'est compliqué". Mais ça serait un gros travail, ça prendrait du temps.
Dans ce que Maxtimax racontait ici, je ne suis pas sûr de comprendre ce qu'il dit à cause de la manière dont c'est formulé.
A mon sens : dès $K[x_0]_f$ est intégralement clos, on a $K[x_0]_f \simeq K(x_0)$. Je pense qu'il n'y a pas besoin d'autre argument pour démontrer cet isomorphisme. J'ai bon ?
Ensuite : a-t-on besoin de montrer que $K(x_0)$ est entier sur $K[x_0]_f$ pour aboutir à la contradiction après ? Son argument contradictoire est qu'on n'a inversé qu'un nombre fini d'éléments, alors qu'il y a un nombre infini de polynômes irréductibles, donc l'isomorphisme précédent est absurde.
Là tu as un anneau intégralement clos, dont le corps des fractions est entier sur lui : ça ça implique qu'ils sont égaux
J'ai besoin de me mettre les idées bien en place. $f$ est le produit des dénominateurs des $P_i$, donc en fait je peux considérer que chaque coefficient de chaque $P_i$ s'écrit comme une fraction de dénominateur $f$. Donc on peut écrire $P_i = \dfrac{1}{f}Q_i$ avec $Q_i$ à coefficients entiers sur $K[x_0]$. Donc quand je localise par rapport à $f$, je fabrique $K[x_0]_f$ dans lequel $\dfrac{1}{f}$ est un coefficient.
Maintenant, j'ai besoin d'expliquer pourquoi $K[x_0]_f$ et $K(x_0)$ ne sont pas isomorphes.
Tu dis qu'on n'a inversé qu'un nombre fini de polynômes, là tu m'as perdu. J'ai inversé un élément de $K[x_0]$, moi. Je ne sais pas à quel moment ce que j'ai fait permet de fabriquer des $P_i^{-1}$ : je vois ça comme inverser $2$ pour que $\dfrac{X}{2}$ soit un polynôme à coefficients dans $\Z_2[X]$, inverser $2$ ne fabrique pas $\dfrac{1}{X}$, or j'en aurais besoin pour inverser $\dfrac{X}{2}$...
Mis à part ça, tu dis que tout corps a un nombre infini de polynômes irréductibles : ça, c'est un résultat de théorie des corps que je ne connais pas, et que je devrais démontrer à part (je ne demande pas encore d'indices). Avec ces deux points, ce que tu disais fait du sens.
Le deuxième point est effectivement celui que tu soulignes, et puisque (explicitement :-D ) tu ne demandes pas encore d'aide je te le laisse
Soit $k$ un corps. Alors $k[X]$ admet un nombre infini de polynômes irréductibles.
Un polynôme $P$ est dit irréductible si :
- $P$ n'est pas inversible
- dès qu'il existe $A$ et $B$ tels que $P=AB$, alors $A$ ou $B$ est inversible
Remarque pour mon petit cerveau : $0$ n'est pas irréductible.
J'ai choisi d'être extrêmement original et d'utiliser la même approche que pour démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers. Je m'attends presque à ce qu'il existe une preuve élégante en 2 lignes à laquelle je n'arriverais jamais à penser par moi-même.
Supposons donc que $k[X]$ n'ait qu'un nombre fini $P_1,...,P_n$ de polynômes irréductibles.
Soit $Q=P_1P_2...P_n+1$.
Si $Q=P_i$, alors $P_i(1-P_1...P_{i-1}P_{i+1}P_n)=1$ et donc $P_i$ est inversible : absurde car $P_i$ est irréductible. Donc $Q \neq P_i$ pour tout $i$.
Donc $Q$ n'est pas irréductible. Donc : soit $Q$ est inversible, soit il existe $A$ et $B$ non inversibles tels que $Q=AB$.
Supposons que $Q$ soit inversible : alors $Q$ est constant non nul, et il existe $R$ inversible (constant non nul) tel que $QR=1$. Donc $P_1P_2...P_nR=1-R$. Si $R=1$, alors $P_1P_2...P_n=0$. Par intégrité de $k[X]$, il existe $i$ tel que $P_i=0$, donc $P_i$ n'est pas irréductible, ce qui est absurde. Donc $R \neq 1$. Donc $P_1P_2...P_n$ est constant non nul, donc inversible. Par associativité, les $P_i$ sont tous inversibles, ce qui est absurde. Donc $Q$ n'est pas inversible.
Donc il existe $A$ et $B$ non inversibles tels que $Q=AB$. Donc $P_1P_2...P_n+1=AB$, avec $A$ et $B$ non inversibles. Si $A$ et $B$ sont non inversibles, alors $AB \neq 1$, donc $P_1...P_n \neq 0$. Par contre, $P_1...P_n$ n'est pas nécessairement constant, donc... donc il me faut une idée.
Je travaille à démystifier les anneaux, sur le côté. Je trouve que les anneaux, c'est une horreur. Les groupes et les corps, ça va, mais les anneaux et tout ce qui s'y rapporte, au secours. Comme dit, je suis dessus, je vais très certainement ouvrir l'un ou l'autre fil dans les temps qui viennent.
Je m'immisce dans ce fil, mais je ne vois pas mon erreur.
Par rapport au lemme de Zariski : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_z%C3%A9ros_de_Hilbert, si α est transcendant sur k, pour fixer les idées, prenons e (base des logarithmes népériens) et Q, alors Q(e) est un corps (le plus petit sous-corps de C contenant Q et e, c'est une Q-algèbre de type fini (engendrée par e sur Q), mais ce n'est pas une extension finie (i.e. de degré fini) de Q (i.e. pas un espace vectoriel de dimension finie sur Q) ??
Julia Paule, la plus petite algèbre de type fini contenant $\mathbb{Q}$ et $e$ n'est pas $\mathbb{Q}(e)$ mais $\mathbb{Q}[e]$.
$\mathbb{Q}(e)$ n'est pas une $\mathbb{Q}$-algèbre de type fini (comme tu viens de le démontrer).
Merci raoul.S. Peu importe que ce soit la plus petite. Q(e) est un corps, extension transcendante de Q.
Mon erreur est de penser que c'est aussi une algèbre de type fini. En fait, non, c'est Q[e] qui en est une.
Q(e), en tant qu'extension de corps de Q, est aussi une Q-algèbre, mais n'est pas une extension finie de Q.
En résumé,
Q(e) est un corps, extension de type fini (mais pas finie) de Q, mais pas une Q-algèbre de type fini,
Q[e] est une Q-algèbre de type fini (mais pas finie, i.e. pas de type fini en tant que Q-espace vectoriel), mais pas un corps.
Ouf, cela vaudrait le coup de se faire un tableau pour résumer tout cela.
Merci beaucoup !