Espérance conditionnelle et espérance du max
dans Statistiques
Bonsoir à tous
J'ai quelques amis qui confondent deux quantités différentes (c'est-à-dire les considèrent comme étant égales), alors que pour moi c'est évident que non. Pour illustrer mon problème.
Soit X une variable aléatoire positive dont l'espérance et la variance existent, et c un réel positif.
Leur question est : est-ce que pour tout c, les deux quantités suivantes sont égales : E(X-c/X>c) et E(Max(X-c,0)) ?
Pour moi, la réponse est non, mais j'aimerais leur démontrer mathématiquement (c'était en discutant sur une question d'examen, qui nécessitait ce genre de calculs, sauf qu'on n'était pas d'accord à un moment, car selon moi ils avaient fait cette erreur grossière de confondre les deux...)
J'ai eu un peu la flemme de faire la démo par des calculs, et donc je voulais savoir si je pouvais raisonner avec le raccourci suivant.
Comme la fonction f : c -> E(X-c/X>c) est croissante selon c, et que la fonction g : c-> E(Max(X-c,0)) est décroissante en fonction de c, les deux fonctions n'ont pas les mêmes variations donc il n'y a pas d'égalité entre elles pour tout c dans R+.
Merci d'avance pour vos avis.
J'ai quelques amis qui confondent deux quantités différentes (c'est-à-dire les considèrent comme étant égales), alors que pour moi c'est évident que non. Pour illustrer mon problème.
Soit X une variable aléatoire positive dont l'espérance et la variance existent, et c un réel positif.
Leur question est : est-ce que pour tout c, les deux quantités suivantes sont égales : E(X-c/X>c) et E(Max(X-c,0)) ?
Pour moi, la réponse est non, mais j'aimerais leur démontrer mathématiquement (c'était en discutant sur une question d'examen, qui nécessitait ce genre de calculs, sauf qu'on n'était pas d'accord à un moment, car selon moi ils avaient fait cette erreur grossière de confondre les deux...)
J'ai eu un peu la flemme de faire la démo par des calculs, et donc je voulais savoir si je pouvais raisonner avec le raccourci suivant.
Comme la fonction f : c -> E(X-c/X>c) est croissante selon c, et que la fonction g : c-> E(Max(X-c,0)) est décroissante en fonction de c, les deux fonctions n'ont pas les mêmes variations donc il n'y a pas d'égalité entre elles pour tout c dans R+.
Merci d'avance pour vos avis.
Réponses
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"Comme la fonction f : c -> E(X-c/X>c) est croissante selon c,"
pas clair.
Les calculs ne sont pas si difficiles, prendre un exemple simple genre c=0 et la loi uniforme sur [-1,1] -
J'avais précise que X était positive. Pour moi la fonction f(c) c'est la moyenne de la différence X-c (sauf que dans le calcul de cette moyenne y a pas les cas X<=c), Alors que la fonction g(c) c'est le même calcul sauf que la moyenne est calculée avec prise en compte des zéros (pour les cas X <=c), donc pour moi forcément la moyenne de l'échantillon (2,2,2) sera supérieure à la moyenne de l'échantillon (2,2,2,0,0,0,0)....
-
Autant ta deuxième explication est claire, autant ta première ne l'est pas.
E(X/X>c) croissante selon c, d'accord.
E(X-c/X>c) croissante selon c, pas d'accord! (tu prends une fonction plateau, et quand tu tends vers ton plateau par valeurs inférieures, la moyenne de ton écart diminue).The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
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