Une seule valeur propre non nulle dans AFC

Je ne vais pas faire des maths ... mais du bon sens,
Quand il y a une seule valeur propre non nulle, c'est qu'on est dans une configuration particulèrement atypique, particulièrement exceptionnelle.
Et parmi les 2 explications que tu proposes, laquelle est particulièrement exceptionnelle, et laquelle est totalement banale ?

Bonjour.

A quoi correspond une matrice qui n'a qu'une seule valeur propre non nulle ? Au besoin dans une base adaptée ? Donc comment est ton nuage de points ?

Cordialement.

Si $X$ est centree dans l'espace euclidien et si $\mathbb{E}(X\otimes X)=a\otimes a$ c'est que $X=aY$ avec $Y$ reelle de moyenne nulle et de variance 1. En effet pour tout vecteur $h$ on a $$\mathbb{E}(\langle X,h\rangle^2)=\langle a,h\rangle^2.$$ En particulier pour tout $h$ orthogonal a $a$ on a $\mathbb{E}(\langle X,h\rangle^2)=0$ et donc $\langle X,h\rangle^2=0$ presque surement. En prenant les $h$ decrivant une base de l'orthogonal de $a$ on obtient que $X$ est proportionnel a $a$ presque surement.