Convergence en loi

Bonjour,
voici la répartition de probabilité suivante : $f_{a}\left( x\right) =\left( 1-\left| x-a\right| \right) 1_{\left[ a-1,\ a+1\right] }$
On effectue une expérience statistique dont les observations $(X_{1},\ X_{2},\ ...,\ X_{n})$ sont des variables aléatoires identiquement équidistribuées, de densité $f_a$.
Après avoir pris l'estimateur $\widehat{a_n} = \max ({X_i }) - 1$, je dois déterminer $u_n$ tel que $u_n (\widehat{a_n} - a)$ converge vers une loi à préciser.


J'ai donc déterminé la fonction de répartition
\begin{align*}
F_{a}\left( t\right) &=\int^{t}_{a-1} f_{a}(x)dx \\

&=\frac{t^{2}}{2} +\left( 1-a\right) t+\frac{a^{2}}{2} -a+\frac{1}{2} ,& \text{pour } t\in \left[ a-1,\ a\right] \\
&=-\frac{t^{2}}{2} +\left( 1+a\right) t-\frac{a^{2}}{2} -a+\frac{1}{2} ,&\text{pour } t\in \left[ a,\ a+1\right]

\end{align*} En prenant $\displaystyle
P(\widehat{a_n}<t)=\prod^{n}_{1} P\left( X_{i}\leq t+1\right) =(F_{a}\left( t+1\right))^n $ et $u_n = n$,
Il vient que $\displaystyle
P\Big( n\left( \widehat{a}_{n} -a\right) \leq t+1\Big) =P\Big( \widehat{a}_{n} \leq a+\frac{t+1}{n} \Big) =F_{a}\Big( a+\frac{t+1}{n} \Big) \xrightarrow [n\to\infty]{}\frac{1}{2} .$

Donc $\big(F_{a}( t+1) \big)^{n}$ convergerait vers 0 ?
Je ne vois pas quelle est l'erreur.
Je cherche la vitesse et la loi limite de mon estimateur.