Variables aléatoires indépendantes et espérance du produit.

Définition Soit une suite de v.a. sur . On se rappelle que si est la tribu de Borel, alors par définition des variables aléatoires est une sous tribu de

Nous dirons que c'est une suite de variables aléatoires indépendantes si la famille de sous tribus est une famille indépendante.

Ceci entraîne un fait simple et utile: si les sont des v.a. indépendantes, et si est une fonction réelle quelconque, alors les sont des v.a. indépendantes aussi.

Dans le théorème suivant, qui sert à caractériser l'indépendance pratiquement, contentons nous de la généralisation est évidente.

Théorème 5.7 Soit et deux variables aléatoires sur . Alors elles sont indépendantes si et seulement si pour tous et réels on a

En particulier, si elles sont discrètes de lois respectives

Démonstration Partie Introduisons les évènements et Par hypothèse ils sont indépendants.

Partie Elle n'est pas élémentaire et sera montrée en 3 ème année.

Toutefois, dans le cas discret de la seconde partie la démonstration directe est facile.

Voici enfin un théorème d'une importance considérable.

Théorème 5.8 Soit une suite de v.a. indépendantes sur . Alors le produit a une espérance si et seulement si chaque a une espérance. Dans ces conditions l'espérance du produit est le produit des espérances:

Démonstration On le démontre d'abord pour , et une récurrence permet de passer au cas de quelconque. Pour , notons et pour simplifier. On le démontre d'abord dans le cas où et sont étagées. Ceci fait, on suppose ensuite que et sont positives. Il est facile de construire deux suites croissantes et de v.a. étagées qui sont de plus indépendantes. Comme est à son tour une suite de v.a. qui croit vers , on arrive au résultat. Quant au passage au cas où les et ne sont plus positives, il est standard.

Exercices sur 5.4

1. Soit et deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans les entiers de lois respectives données par et , où et sont dans Montrer à l'aide de la deuxième partie du Th. 5.7 que et sont indépendantes.
2. Soit une matrice carrée d'ordre 2 dont les coefficients sont des variables aléatoires indépendantes et de même loi Calculer l'espérance du carré du déterminant de cette matrice.