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Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures Espérance d'une variable aléatoire quelconque.

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suivant: Théorème du transport. monter: L'espérance mathématique d'une variable précédent: Les variables aléatoires étagées.

Espérance d'une variable aléatoire quelconque.

Toutes les variables aléatoires ne sont pas étagées, mais toutes sont approchables par des v.a. étagées, et cela va permettre de définir l'espérance d'une v.a. quelconque. Plus précisément, on a le théorème suivant:

Théorème 5.2 Soit $(\Omega,\mathcal{A},P)$ un espace de probabilité, et $X :\Omega\rightarrow \hbox{I\hskip -2pt R}$ une variable aléatoire positive. Alors

Il existe une suite croissante de v.a. étagées telle $X=\lim_{n\rightarrow +\infty} X_n.$
Si la suite ci dessus est telle que $\hbox{I\hskip -2pt E}(X_n)$ soit bornée, alors le nombre

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \hbox{I\hskip -2pt E}(X_n)=\hbox{I\hskip -2pt E}(X)$
ne dépend que de et non de la suite particulière , dans le sens que si a les propriétés demandées à au 1), alors la suite $\hbox{I\hskip -2pt E}(X'_n)$ a la même limite. $\hbox{I\hskip -2pt E}(X)$ est l'espérance de la variable aléatoire positive .
Si est une autre v.a positive sur $(\Omega,\mathcal{A},P)$ telle que existe, et si $\lambda$ et $\mu$ sont des nombres $\geq 0,$ alors $\hbox{I\hskip -2pt E}(\lambda X+\mu Y)$ existe et est égale à $\lambda \hbox{I\hskip -2pt E}(X)+\mu \hbox{I\hskip -2pt E}(Y)$ .
Si $0\leq X\leq Y$ et si $\hbox{I\hskip -2pt E}(Y)$ existe, alors $\hbox{I\hskip -2pt E}(X)$ existe et $\hbox{I\hskip -2pt E}(X)\leq \hbox{I\hskip -2pt E}(Y).$
Si $X\geq 0$ , alors $\hbox{I\hskip -2pt E}(X)=0$ si et seulement si la loi de est la probabilité de Dirac en 0.

Nous omettons la démonstration, bien que celle ci ne soit pas difficile. Il faut insister sur le fait que l'espérance de cette v.a. positive n'existe pas toujours.

Ce théorème définit donc $\hbox{I\hskip -2pt E}(X)$ pour des v.a positives. Pour passer au cas d'une v.a de signe quelconque, voici la démarche à suivre:

Définition On considère une v.a. définie sur $(\Omega,\mathcal{A},P)$ et on écrit cette fonction de $\omega\in\Omega$ comme différence de deux fonctions positives où signifie max et (rappelons que cela implique et $\vert a\vert=a_++a_-).$ Donc $\vert X\vert=X_+-X_-$ . On dira que $\hbox{I\hskip -2pt E}(X)$ existe si, au sens du théorème 5.2, l'espérance de $\vert X\vert$ existe. Dans ces conditions, d'après le 2) du théorème 5.2, $\hbox{I\hskip -2pt E}(X_+)$ et $\hbox{I\hskip -2pt E}(X_-)$ existent, et on définit l'espérance de par $\hbox{I\hskip -2pt E}(X)=\hbox{I\hskip -2pt E}(X_+)-\hbox{I\hskip -2pt E}(X_-).$

On a alors l'importante extension du théorème de linéarité et de positivité:

Corollaire 5.3 Soit $(\Omega,\mathcal{A},P)$ un espace de probabilité, soit $\mathcal{L}_1$ l'ensemble des variables aléatoires sur cet espace telles que $\hbox{I\hskip -2pt E}(X)$ existe (ou, de façon équivalente, telles que $\hbox{I\hskip -2pt E}(\vert X\vert)$ soit finie). Alors $\mathcal{L}_1$ est un espace vectoriel et $X\mapsto \hbox{I\hskip -2pt E}(X)$ est une forme linéaire sur $\mathcal{L}_1$ , telle que de plus $\hbox{I\hskip -2pt E}(X)\geq \hbox{I\hskip -2pt E}(Y)$ si $X\geq Y.$

Appliquons cela à deux cas particuliers importants, celui où est discrète et positive et celui où la loi de a une densité.

Proposition 5.4 Soit une v.a discrète avec

$\displaystyle P_X=\sum _{j=1}^{\infty}p_j\delta_{a_j}$

où $\sum _{j=1}^{\infty}p_j=1.$ Alors l'espérance de

existe si et seulement si la série $\sum _{j=1}^{\infty}p_ja_j$ est absolument convergente. S'il en est ainsi, alors

$\displaystyle \hbox{I\hskip -2pt E}(X)=\sum _{j=1}^{\infty}p_ja_j.$

Démonstration Montrons le d'abord si les sont positifs ou nuls. Alors puisque $X=\sum _{j=1}^{\infty}a_j{\bf 1}_{A_j}$ , où les évènements $A_j=\{X=j\}$ sont deux à deux disjoints dans $\Omega$ , il suffit de considérer la v.a. étagée $X_n=\sum _{j=1}^{n}a_j{\bf 1}_{A_j},$ qui est nulle sur $\cup_{j=n+1}^{\infty}A_j$ , et qui définit une suite ayant les propriétés requises au théorème 5.2. Le résultat est alors clair.

Si les ne sont pas positifs on écrit et les deux séries $\sum _{j=1}^{\infty}p_j(a_j)_+$ et $\sum _{j=1}^{\infty}p_j(a_j)_-$ convergent si et seulement si $\sum _{j=1}^{\infty}p_ja_j$ est absolument convergente. Cela permet de conclure facilement.

Proposition 5.5 Supposons que la loi de la v.a. ait une densité avec un nombre fini de points de discontinuités $a_1<\ldots<a_N.$ Alors l'espérance de , existe si et seulement si $\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx$ est absolument convergente. S'il en est ainsi, alors

$\displaystyle \hbox{I\hskip -2pt E}(X)=\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx.$

Démonstration Contentons nous de donner les idées de la démonstration quand est positive et quand sa densité est continue. L'extension aux hypothèses du théorème sera alors standard. On découpe en intervalles égaux par les points $x_k=\frac{k}{2^n}$ , avec $k=0,1,\ldots,n2^n$ , on convient $x_{n2^n+1}=+\infty$ et on définit la variable aléatoire étagée quand $x_k\leq X<x_{k+1}.$ Ceci est bien une suite croissante et on a bien $\lim_{n\rightarrow +\infty} X_n=X$ .

Si $\int_{0}^{\infty} xf(x)dx$ converge, notons

$\displaystyle D_n=\int_{0}^{\infty} xf(x)dx-\hbox{I\hskip -2pt E}(X_n)= \sum_{k=0}^{n2^n}\int_{x_k}^{x_{k+1}}(x-x_k)f(x)dx.$

Soit $\epsilon>0.$ Il existe un entier

tel que $\int_{A}^{\infty} xf(x)dx\leq \epsilon.$ Soit alors

tel que

et soit

la fonction de répartition

. On partage alors

en deux sommes

, avec

$\displaystyle A_n= \sum_{k=K}^{n2^n}\int_{x_k}^{x_{k+1}}(x-x_k)f(x)dx\leq 2\int_A^{+\infty}xf(x)dx\leq 2\epsilon,$

$\displaystyle B_n=\sum_{k=0}^{K-1}\int_{x_k}^{x_{k+1}}(x-x_k)f(x)dx =-\int_0^AF(x)dx+\sum_{k=0}^{K-1}(x_{k+1}-x_k)F(x_{k+1}),$

la dernière égalité étant obtenue par intégration par parties en posant

Notons que les symboles

sont des fonctions de

. Si

tend vers l'infini,

tend vers zéro, comme suite des différences entre une intégrale et les sommes de Riemann de cette intégrale. On voit donc que

tend vers 0. Le cas où $\int_{0}^{\infty} xf(x)dx$ diverge est similaire.

Exercices sur 5.2

Calculer l'espérance d'une variable aléatoire de loi

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n(n+1)(n+2)}\delta_n.$
Pour quelles valeurs de la variable aléatoire ayant pour fonction de répartition $F_X(x)=1-\frac{1}{(1+x)^a}$ si x>0, et si $x\leq 0,$ possède-t-elle une espérance?