Anneau des fractions d'un anneau

Proposition Soient A un anneau unitaire et commutatif. Soit S une partie multiplicative de A qui ne contient pas 0. On définit sur SA deux opérations. Si a,a' sont éléments de A, s,s' sont éléments de S:

1. est une relation d'équivalence ; l'ensemble des classes d'équivalence est noté SA, et la classe de (s,a) est notée .
2. Les deux opérations définies plus haut sont stables vis-à-vis de la relation R ; elles induisent sur SA une structure d'anneau commutatif unitaire. L'élément nul est donné par et l'unité est . SA s'appelle l'anneau des fractions de A sur S.
3. Soit i l'application de A dans SA qui à a associe . Alors i est un homomorphisme d'anneau. De plus i est injectif si, et seulement si, S ne contient aucun diviseur de 0. Si cette condition est réalisée, on pourra donc considérer A comme un sous-anneau de SA.
4. SA est l'anneau nul si, et seulement si, S contient un élément nilpotent, ce qui est aussi équivalent au fait que S contient 0.

1. Montrons que est bien une ralation d'équivalence. Tout d'abord (s,a) (s,a) car sa-as=0. Donc esr réflexive. Ensuite, il est clair que si (s,a)(s',a') alors (s',a')(s,a). est donc symétrique. Reste à montrer la transitivité: Pour cela prenons (s,a), (s',a') et (s'',a'') des éléments de SA tels que (s,a)(s',a') et (s',a')(s'',a''). Il existe donc t et t' dans S tels que t(sa'-s'a)=0 et t'(s'a''-a's'')=0. Alors tt's'(sa''-s''a)=tst's'a''-tt's's''a=tt'sa's''-tt's's''a=t's''t(a's-s'a)=0. Donc (a,s)(a'',s''). est bien une relation d'équivalence.
2. Montrons que les deux opérations sont compatibles avec la relation d'équivalence. Si (a,b), (a',b'), (c,d) et (c',d') sont des éléments de SA, tels que (a,b)(a',b') et (c,d)(c',d'), il faut montrer d'une part que (a,b)+(c,d) a',b')+(c',d') et d'autre part que (a,b)(c,d)=(a',b')(c',d'). Montrons d'abord la compatibilité par rapport à l'addition. Comme (a,b)(a',b'), il existe tS tel que t(ab'-a'b)=0. Comme (c,d)(c',d') il existe t'S tel que t'(cd'-c'd)=0.Nous cherchons un élément T de S tel que T[ac(a'd'+b'c')-a'c'(ad+bc)]=0. Soit T tel que T[(ab'-a'b)cc'+(cd'-c'd)aa']=0. Si on prend T=tt' cela donne l'égalité voulue. Montrons la compatibilité par rapport à la multiplication. On a tt'(acb'd'-bda'c')=tt'(ab'cd'-a'bdc')=tt'(a'bcd'-a'bdc')=tt'a'b(cd'-d'c')=0, Cqfd.
3. Soit i:A SA a i(a)= . Vérifions tout d'abord que i est un homomorphisme d'anneaux. Tout d'abord: si x,y A, i(x+y)= = + . i est donc un morphisme de groupes additifs. D'autre part i(xy)= = =i(x)i(y). De plus i(1)= . i est donc bien un homomorphisme d'anneaux. D'autre part i est injectif si et seulement si son noyau se réduit à l'élément nul de A. Soit donc xKer i. Si i(x)=0 cela est équivalent au fait que =0. Cela revient à dire qu'il existe s dans S tel que sx=0. Cette dernière affirmation est équivalente à l'existence d'un diviseur s de 0 dans A.
4. Supposons que SA= alors aA sS/sa=0. En particulier s=0. Ainsi S contient un élément nilpolent. Ensuite si S contient un élément nilpotent, s=0. 0 est donc élément de S. Enfin si 0 est élément de S, SA= car pour tout a de A, 0a=0. Donc a= .

Définition - Proposition Soit A un anneau commutatif unitaire. A est une partie miltiplicative de A. Considérons = A=A A/ ( où est la relation d'équivalence précédemment définie) muni de l'addition et de la multiplication précédemment définie a une strucuture de corps. C'est le corps des fractions de l'anneau A. Les classes d'équivalcences des couples (b,a) sont notés . L'injection canonique i:A définie par i(x)= permet de voir A comme un sous anneau de .

Démonstration Par construction, tout élément de est inversible dans . Ce dernier, qui au départ possède une structure d'anneau, possède donc une structure de corps.